Considere a reta R definida pela equação paramétrica:
l x=1+2 t y=3-t z=4+m t
e o plano Pi de equação 2 x-y+z=5. Determine o valor de m=m0 para que a reta R seja paralela ao plano II. E, para os outros valores m neq m0, encontre o ponto de interseção entre eles (em termos do m ).

Passo 1

Então, temos uma reta $ R $ definida pelas equações paramétricas:
R
e um plano $ \Pi $ com a equação $ 2x - y + z = 5 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ m = m_0 $ que faz com que a reta $ R $ seja paralela ao plano $ \Pi $. Além disso, para valores de $ m $ diferentes de $ m_0 $, queremos determinar o ponto de interseção entre a reta e o plano em termos de $ m $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que uma reta seja paralela a um plano. Uma reta é paralela a um plano se o vetor diretor da reta for paralelo ao plano, ou seja, se o vetor diretor da reta for ortogonal ao vetor normal do plano.

Passo 3

Identificamos o vetor diretor da reta $ R $. A partir das equações paramétricas, o vetor diretor $ \vec{d} $ é dado pelos coeficientes de $ t $:
R

Passo 4

Agora, encontramos o vetor normal $ \vec{n} $ do plano $ \Pi $. A equação do plano é $ 2x - y + z = 5 $, então o vetor normal é dado pelos coeficientes de $ x $, $ y $ e $ z $:
n

Passo 5

Para que a reta seja paralela ao plano, o vetor diretor da reta $ \vec{d} $ deve ser ortogonal ao vetor normal do plano $ \vec{n} $. Ou seja, o produto escalar entre $ \vec{d} $ e $ \vec{n} $ deve ser zero:
d
Calculando o produto escalar:
n

Passo 6

Então, $ m_0 = -5 $. Para valores de $ m $ diferentes de $ m_0 $, a reta $ R $ e o plano $ \Pi $ não são paralelos e, portanto, se intersectam em um único ponto.

Passo 7

Para encontrar o ponto de interseção quando $ m \neq m_0 $, substituímos as equações paramétricas da reta na equação do plano:
m neq m0
Simplificando:
2x - y + z = 5 2(1 + 2t) - (3 - t) + (4 + mt) = 5

Passo 8

Agora, substituímos o valor de $ t $ encontrado de volta nas equações paramétricas para obter as coordenadas do ponto de interseção:
t

Resposta

O valor de $ m_0 $ que torna a reta $ R $ paralela ao plano $ \Pi $ é $ m_0 = -5 $. Para valores de $ m \neq -5 $, o ponto de interseção entre a reta e o plano é dado por:
m0

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