Considere:
f(x)=ll e^x+2 & se x>1 3 x+1 & se x<1 e g(x)= x^2+1 & se x<0 x^3 & se x>0
Estude lim x 0 f circ g(x).

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas por partes, e , e precisamos encontrar o limite de quando se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de limites e funções compostas. Vamos precisar entender como cada função se comporta perto de 0 e como isso afeta a composição delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. A função significa que a gente aplica a função primeiro e depois a função no resultado. Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função g(x) = x^2 + 1 & se x < 0 x^3 & se x > 0 perto de . Ela é definida por partes:
Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ), usamos . Como é sempre positivo, se aproxima de 1.
Quando se aproxima de 0 pela direita ( ), usamos . Aqui, como está próximo de 0, também se aproxima de 0.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece com f(x) = e^x + 2 & se x > 1 3x + 1 & se x < 1 em cada caso.
Primeiro, para limx to 0^- f(g(x)) = e^1 + 2 = e + 2 :
  • limx to 0^+ f(g(x)) = 3 cdot 0 + 1 = 1
  • Precisamos ver qual parte de usar quando está próximo de 1.
A função é definida por:
Como está se aproximando de 1 a partir de valores maiores que 1 (porque para ), usamos . Então:
Segundo, para :
  • Novamente, verificamos qual parte de usar quando está próximo de 0.
Como (pois e está próximo de 0), usamos . Então:

Passo 5

Agora, vamos comparar os limites laterais:
limx to 0^- f(g(x)) = e + 2 limx to 0^+ f(g(x)) = 1
Como esses dois limites são diferentes ( ), o limite geral de quando se aproxima de 0 não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.

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