Considere:
Estude
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas por partes,
e
, e precisamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de limites e funções compostas. Vamos precisar entender como cada função se comporta perto de 0 e como isso afeta a composição delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. A função
significa que a gente aplica a função
primeiro e depois a função
no resultado. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
perto de
. Ela é definida por partes:
Quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
), usamos
. Como
é sempre positivo,
se aproxima de 1.
Quando
se aproxima de 0 pela direita (
), usamos
. Aqui, como
está próximo de 0,
também se aproxima de 0.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece com
em cada caso.
Primeiro, para
:
-
- Precisamos ver qual parte de
usar quando está próximo de 1.
A função
é definida por:
Como
está se aproximando de 1 a partir de valores maiores que 1 (porque
para
), usamos
. Então:
Segundo, para
:
-
- Novamente, verificamos qual parte de
usar quando está próximo de 0.
Como
(pois
e
está próximo de 0), usamos
. Então:
Passo 5
Agora, vamos comparar os limites laterais:
Como esses dois limites são diferentes (
), o limite geral de
quando
se aproxima de 0 não existe.
Resposta
O limite
não existe porque os limites laterais são diferentes.