Determine o volume entre as esferas
x^2 + y^2 + z^2 = a^2 e x^2 + y^2 + z^2 = b^2
com b > a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume que está entre duas esferas, uma maior com raio e outra menor com raio , onde . Para isso, vamos usar a fórmula do volume de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o volume de uma esfera. A fórmula é:
Onde é o volume e é o raio da esfera.

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume da esfera maior, que tem raio . Aplicando a fórmula:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o volume da esfera menor, com raio :

Passo 5

O volume que está entre as duas esferas é a diferença entre o volume da esfera maior e o volume da esfera menor. Então, fazemos:
Podemos fatorar o e simplificar:

Resposta

O volume entre as esferas é .

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