Considere
. Acerca de
, determine
(a) o domínio e verifique que
são assintotas verticais
(b) os intervalos onde é crescente/decrescente, máximos/mínimos locais
(c) intervalos onde é côncava para cima/baixo e pontos de inflexão
(d) um esboço, evidenciando a informação obtida nas partes acima.
(a) o domínio e verifique que
(b) os intervalos onde é crescente/decrescente, máximos/mínimos locais
(c) intervalos onde é côncava para cima/baixo e pontos de inflexão
(d) um esboço, evidenciando a informação obtida nas partes acima.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a derivada
. Pede-se:
(a) determinar o domínio e verificar que e
são assintotas verticais;
(b) encontrar os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais;
(c) estudar concavidade e pontos de inflexão;
(d) fazer um esboço do gráfico indicando as informações anteriores.
(a) determinar o domínio e verificar que
(b) encontrar os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais;
(c) estudar concavidade e pontos de inflexão;
(d) fazer um esboço do gráfico indicando as informações anteriores.
Informações relevantes fornecidas: a expressão dentro do log é
e foi dada a derivada
. A partir disso vamos determinar domínio, assíntotas, sinal de
, calcular
para concavidade e montar o esboço.
Passo 2
Domínio de
. Como
só está definida quando o argumento do log é positivo, exigimos
Vamos resolver isso passo a passo. Reescrevendo,
A solução de
é
Portanto o domínio de
é o intervalo aberto
. Note que os pontos
não pertencem ao domínio.
Passo 3
Verificação de assíntotas verticais em
. Uma assíntota vertical ocorre quando a função tende a
ao nos aproximarmos do ponto que não pertence ao domínio. Observe que, ao aproximar
de
vindo da esquerda, o argumento do log tende a zero positivo:
Analogamente, aproximando
de
pela direita:
Como a função tende a
ao se aproximar de
pela esquerda e de
pela direita, esses pontos são assíntotas verticais:
e
.
Passo 4
Interpretação do sinal da derivada e definição prática. Lembrete rápido: se
em um intervalo,
é crescente ali; se
,
é decrescente; se
e muda de sinal, temos um extremo local.
Vamos analisar
no domínio
. Observe primeiro o sinal do denominador:
ou seja, o denominador é negativo em todo o domínio. Então o sinal de
é o sinal de
multiplicado por
sinal negativo do denominador, i.e.
tem sinal oposto ao de
. Concretamente:
- Para
: temos e denominador , logo . Assim é crescente em . - Para
: temos e denominador , logo . Assim é decrescente em .
Emtemos , e observamos mudança de sinal de positivo para negativo quando passamos por , o que caracteriza um máximo local em .
Passo 5
Valor do extremo em
e natureza do extremo. Calculamos
Como
cresce para a esquerda de
e decresce para a direita de
,
é um ponto de máximo local. Além disso, pelas observações sobre assíntotas verticais (
quando
) e pelo fato de haver apenas esse único ponto crítico interno, esse máximo é também máximo global no domínio
. Não existem mínimos locais (a função vai para
nas bordas).
Passo 6
Cálculo de
e estudo da concavidade. Vamos diferenciar
usando a regra do quociente. Seja
e
. Então
Calculando as derivadas:
Substituindo,
Fatorando um
,
Agora analisa-se o sinal: o numerador
é sempre negativo (pois
para todo
) e o denominador
é sempre positivo (exceto nos pontos
, que não pertencem ao domínio). Logo
Conclusão:
é côncava para baixo em todo o domínio
. Não há intervalos de concavidade para cima e não existem pontos de inflexão, pois a concavidade não muda de sinal em nenhum ponto do domínio.
Passo 7
Resumindo as informações úteis para desenhar o esboço (o esboço em si é geométrico; aqui está o que se deve marcar):
- Domínio:
. - Assíntotas verticais:
e ; a função tende a ao aproximar-se desses valores pelos lados permitidos. - Ponto crítico:
com (valor aproximado ), que é máximo global. - Crescimento/decrescimento: crescente em
, decrescente em . - Concavidade: côncava para baixo em todo o domínio, logo o gráfico é em forma de “campânula” invertida (abre para baixo), subindo de
em até o pico em e descendo para em .
Dicas de esboço prático na prova: marcar as retas verticais
tracejadas, plotar o pico em
e ligar com uma curva suave côncava para baixo que tende a
nas assíntotas.
Resposta
(a) Domínio:
. Assíntotas verticais em
e
.
(b) Crescente em ; decrescente em
. Máximo local (e global) em
com
. Sem mínimos locais.
(c) Côncava para baixo em todo o domínio ; não há pontos de inflexão.
(d) Esboço: função vai de em
, cresce até o pico
, e decresce até
em
; assíntotas verticais
e concavidade para baixo em todo o gráfico.
(b) Crescente em
(c) Côncava para baixo em todo o domínio
(d) Esboço: função vai de