Considere f(x)=\ln \left(9-x^{2}\right), f^{\prime}(x)=\frac{2 x}{x^{2}-9}. Acerca de f, determine
(a) o domínio e verifique que x=3, x=-3 são assintotas verticais
(b) os intervalos onde é crescente/decrescente, máximos/mínimos locais
(c) intervalos onde é côncava para cima/baixo e pontos de inflexão
(d) um esboço, evidenciando a informação obtida nas partes acima.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln\!\bigl(9-x^{2}\bigr) e a derivada f'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-9}. Pede-se:
(a) determinar o domínio e verificar que x=3 e x=-3 são assintotas verticais;
(b) encontrar os intervalos de crescimento/decrescimento e os extremos locais;
(c) estudar concavidade e pontos de inflexão;
(d) fazer um esboço do gráfico indicando as informações anteriores.
Informações relevantes fornecidas: a expressão dentro do log é 9-x^{2} e foi dada a derivada f'(x). A partir disso vamos determinar domínio, assíntotas, sinal de f', calcular f'' para concavidade e montar o esboço.

Passo 2

Domínio de f. Como f(x)=\ln\!\bigl(9-x^{2}\bigr) só está definida quando o argumento do log é positivo, exigimos
9-x^{2}>0.
Vamos resolver isso passo a passo. Reescrevendo,
-x^{2}>-9 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}<9.
A solução de x^{2}<9 é
-3<x<3.
Portanto o domínio de f é o intervalo aberto (-3,3). Note que os pontos x=\pm3 não pertencem ao domínio.

Passo 3

Verificação de assíntotas verticais em x=\pm3. Uma assíntota vertical ocorre quando a função tende a \pm\infty ao nos aproximarmos do ponto que não pertence ao domínio. Observe que, ao aproximar x de 3 vindo da esquerda, o argumento do log tende a zero positivo:
\lim_{x\to 3^-}\bigl(9-x^{2}\bigr)=0^{+}\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to 3^-}\ln\!\bigl(9-x^{2}\bigr)=-\infty.
Analogamente, aproximando x de -3 pela direita:
\lim_{x\to -3^+}\bigl(9-x^{2}\bigr)=0^{+}\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to -3^+}\ln\!\bigl(9-x^{2}\bigr)=-\infty.
Como a função tende a -\infty ao se aproximar de x=3 pela esquerda e de x=-3 pela direita, esses pontos são assíntotas verticais: x=3 e x=-3.

Passo 4

Interpretação do sinal da derivada e definição prática. Lembrete rápido: se f'(x)>0 em um intervalo, f é crescente ali; se f'(x)<0, f é decrescente; se f'(x)=0 e muda de sinal, temos um extremo local.
Vamos analisar f'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-9} no domínio (-3,3). Observe primeiro o sinal do denominador:
x^{2}-9<0\quad\text{para}\quad -3<x<3,
ou seja, o denominador é negativo em todo o domínio. Então o sinal de f'(x) é o sinal de 2x multiplicado por sinal negativo do denominador, i.e. f'(x) tem sinal oposto ao de x. Concretamente:
  • Para x\in(-3,0): temos x<0\Rightarrow 2x<0 e denominador <0, logo f'(x)>0. Assim f é crescente em (-3,0).
  • Para x\in(0,3): temos x>0\Rightarrow 2x>0 e denominador <0, logo f'(x)<0. Assim f é decrescente em (0,3).
    Em x=0 temos f'(0)=0, e observamos mudança de sinal de positivo para negativo quando passamos por 0, o que caracteriza um máximo local em x=0.

Passo 5

Valor do extremo em x=0 e natureza do extremo. Calculamos
f(0)=\ln\!\bigl(9-0^{2}\bigr)=\ln 9.
Como f cresce para a esquerda de 0 e decresce para a direita de 0, x=0 é um ponto de máximo local. Além disso, pelas observações sobre assíntotas verticais ( f\to -\infty quando x\to\pm3) e pelo fato de haver apenas esse único ponto crítico interno, esse máximo é também máximo global no domínio (-3,3). Não existem mínimos locais (a função vai para -\infty nas bordas).

Passo 6

Cálculo de f''(x) e estudo da concavidade. Vamos diferenciar f'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-9} usando a regra do quociente. Seja u(x)=2x e v(x)=x^{2}-9. Então
f''(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Calculando as derivadas:
u'(x)=2,\qquad v'(x)=2x.
Substituindo,
f''(x)=\frac{2\,(x^{2}-9)-2x\cdot(2x)}{(x^{2}-9)^{2}} =\frac{2x^{2}-18-4x^{2}}{(x^{2}-9)^{2}} =\frac{-2x^{2}-18}{(x^{2}-9)^{2}}.
Fatorando um -2,
f''(x)=-2\,\frac{x^{2}+9}{(x^{2}-9)^{2}}.
Agora analisa-se o sinal: o numerador -2(x^{2}+9) é sempre negativo (pois x^{2}+9>0 para todo x) e o denominador (x^{2}-9)^{2} é sempre positivo (exceto nos pontos \pm3, que não pertencem ao domínio). Logo
f''(x)<0\quad\text{para todo }x\in(-3,3).
Conclusão: f é côncava para baixo em todo o domínio (-3,3). Não há intervalos de concavidade para cima e não existem pontos de inflexão, pois a concavidade não muda de sinal em nenhum ponto do domínio.

Passo 7

Resumindo as informações úteis para desenhar o esboço (o esboço em si é geométrico; aqui está o que se deve marcar):
  • Domínio: (-3,3).
  • Assíntotas verticais: x=-3 e x=3; a função tende a -\infty ao aproximar-se desses valores pelos lados permitidos.
  • Ponto crítico: x=0 com f(0)=\ln 9 (valor aproximado \ln 9\approx 2,197), que é máximo global.
  • Crescimento/decrescimento: crescente em (-3,0), decrescente em (0,3).
  • Concavidade: côncava para baixo em todo o domínio, logo o gráfico é em forma de “campânula” invertida (abre para baixo), subindo de -\infty em x\to-3^{+} até o pico em (0,\ln 9) e descendo para -\infty em x\to 3^{-}.
Dicas de esboço prático na prova: marcar as retas verticais x=\pm3 tracejadas, plotar o pico em (0,\ln9) e ligar com uma curva suave côncava para baixo que tende a -\infty nas assíntotas.

Resposta

(a) Domínio: (-3,3). Assíntotas verticais em x=-3 e x=3.
(b) Crescente em (-3,0); decrescente em (0,3). Máximo local (e global) em x=0 com f(0)=\ln 9. Sem mínimos locais.
(c) Côncava para baixo em todo o domínio (-3,3); não há pontos de inflexão.
(d) Esboço: função vai de -\infty em x\to-3^{+}, cresce até o pico (0,\ln 9), e decresce até -\infty em x\to3^{-}; assíntotas verticais x=\pm3 e concavidade para baixo em todo o gráfico.

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