Determine :
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função é o logaritmo natural de um quociente.
- No numerador aparece
. - No denominador aparece
.
O objetivo é calcular
.
Passo 2
Primeiro, vou simplificar a expressão usando propriedades do logaritmo para deixar a diferenciação mais clara e fácil de aplicar:
- Propriedade 1:
. - Propriedade 2:
.
Aplicando essas propriedades à função dada:
Passo 3
Regra que vou usar para diferenciar cada termo:
- Regra do logaritmo (cadeia): se
é diferenciável e , então
- Regra da soma/constante: a derivada da diferença é a diferença das derivadas, e constantes fatoram.
Vou aplicar isso termo a termo em
.
Passo 4
Derivando o primeiro termo
.
Passo a passo:
- A função interna é
. - Derivada da interna:
. - Aplicando
:
Explicação curta: o log transforma a divisão em “derivada da interna sobre interna”, e
, daí
.
Passo 5
Derivando o segundo termo
.
Passo a passo:
- Defina
. - Derivada da interna:
. - Aplicando a regra do logaritmo:
- Multiplicando pelo fator constante
:
Passo 6
Agora somo as duas derivadas (lembrando que o segundo termo já tem sinal negativo):
Colocando num único formato:
Passo 7
Comentário final e checagem rápida:
- Verifiquei as derivadas internas:
e . - As operações com logaritmo estão corretas (diferença de logs e fator
para a raiz). - A expressão final está pronta para uso em prova sem necessidade de simplificação adicional.