Determine :
\frac{d}{d x}\left(\ln \frac{\cos x}{\sqrt{e^{x}+x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\ln\!\left(\dfrac{\cos x}{\sqrt{e^{x}+x}}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A função é o logaritmo natural de um quociente.
  • No numerador aparece \cos x.
  • No denominador aparece \sqrt{e^{x}+x}.
O objetivo é calcular \dfrac{d}{dx}y.

Passo 2

Primeiro, vou simplificar a expressão usando propriedades do logaritmo para deixar a diferenciação mais clara e fácil de aplicar:
  • Propriedade 1: \ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B.
  • Propriedade 2: \ln(\sqrt{C})=\ln(C^{1/2})=\tfrac{1}{2}\ln C.
Aplicando essas propriedades à função dada:
y=\ln(\cos x)-\ln\!\big(\sqrt{e^{x}+x}\big)=\ln(\cos x)-\tfrac{1}{2}\ln\big(e^{x}+x\big).

Passo 3

Regra que vou usar para diferenciar cada termo:
  • Regra do logaritmo (cadeia): se u=u(x) é diferenciável e u(x)>0, então
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
  • Regra da soma/constante: a derivada da diferença é a diferença das derivadas, e constantes fatoram.
Vou aplicar isso termo a termo em y=\ln(\cos x)-\tfrac{1}{2}\ln(e^{x}+x).

Passo 4

Derivando o primeiro termo \ln(\cos x).
Passo a passo:
  • A função interna é u(x)=\cos x.
  • Derivada da interna: u'(x)=(\cos x)'=-\sin x.
  • Aplicando \dfrac{d}{dx}\ln(u)=u'/u:
\frac{d}{dx}\ln(\cos x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x.
Explicação curta: o log transforma a divisão em “derivada da interna sobre interna”, e (\cos x)'=-\sin x, daí -\sin x/\cos x=-\tan x.

Passo 5

Derivando o segundo termo -\tfrac{1}{2}\ln(e^{x}+x).
Passo a passo:
  • Defina v(x)=e^{x}+x.
  • Derivada da interna: v'(x)=(e^{x}+x)'=e^{x}+1.
  • Aplicando a regra do logaritmo:
\frac{d}{dx}\ln(v(x))=\frac{v'(x)}{v(x)}=\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}.
  • Multiplicando pelo fator constante -\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dx}\Big(-\tfrac{1}{2}\ln(e^{x}+x)\Big)=-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}.

Passo 6

Agora somo as duas derivadas (lembrando que o segundo termo já tem sinal negativo):
\frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}\ln(\cos x)-\frac{d}{dx}\Big(\tfrac{1}{2}\ln(e^{x}+x)\Big) =-\tan x-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}.
Colocando num único formato:
\frac{d}{dx}\ln\!\left(\dfrac{\cos x}{\sqrt{e^{x}+x}}\right)=-\tan x-\frac{e^{x}+1}{2\big(e^{x}+x\big)}.

Passo 7

Comentário final e checagem rápida:
  • Verifiquei as derivadas internas: (\cos x)'=-\sin x e (e^{x}+x)'=e^{x}+1.
  • As operações com logaritmo estão corretas (diferença de logs e fator 1/2 para a raiz).
  • A expressão final está pronta para uso em prova sem necessidade de simplificação adicional.

Resposta

-\tan x-\frac{e^{x}+1}{2\big(e^{x}+x\big)}

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