Determine :
L’Hopital
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável tende para infinito:
. - A função é
. - Observação:
é a função seno, i.e. . - É preciso encontrar o valor do limite quando
cresce sem limite.
Passo 2
Verificar a forma indeterminada da expressão. Quando
temos
, logo
enquanto
. Então a expressão tem a forma
, que é indeterminada. Para aplicar o método de L’Hôpital é conveniente transformar o produto em uma razão. Faço a substituição
Quando
então
. Reescrevendo a expressão em
:
Passo 3
Verifico a forma de
quando
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Portanto a razão é da forma, apta para aplicar o Teorema de L’Hôpital (desde que as hipóteses sejam satisfeitas).
Passo 4
L’Hôpital (versão para a forma
) diz: se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
),
perto de
e
existe (ou é
), então
No nosso caso
e
. Essas funções são diferenciáveis para
suficientemente próximo de
(para
próximo de
temos
, logo o
está bem definido). Portanto as hipóteses se aplicam.
Passo 5
Calculo as derivadas necessárias.
Derivada do numerador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Pelo Teorema de L’Hôpital,
Passo 6
Avalio o limite do lado direito por substituição direta, já que as funções são contínuas em
:
Assim o limite original é
.
Passo 7
Checagem (intuitiva) com série de Taylor para confirmar a intuição: para
pequeno
, então
e portanto
. Confirmação consistente com o resultado obtido por L’Hôpital.