Determine :
\lim _{x \rightarrow \infty} x \ln \left(1-\operatorname{sen} \frac{1}{x}\right) \rightarrow L’Hopital

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty} x \ln\!\left(1-\operatorname{sen}\frac{1}{x}\right).
Informações dadas:
  • A variável tende para infinito: x\to\infty.
  • A função é x \mapsto x \ln\!\left(1-\operatorname{sen}\frac{1}{x}\right).
  • Observação: \operatorname{sen} é a função seno, i.e. \operatorname{sen}(\cdot)=\sin(\cdot).
  • É preciso encontrar o valor do limite quando x cresce sem limite.

Passo 2

Verificar a forma indeterminada da expressão. Quando x\to\infty temos \sin\frac{1}{x}\to0, logo
\ln\!\left(1-\sin\frac{1}{x}\right)\to\ln 1 = 0,
enquanto x\to\infty. Então a expressão tem a forma \infty\cdot 0, que é indeterminada. Para aplicar o método de L’Hôpital é conveniente transformar o produto em uma razão. Faço a substituição
t=\frac{1}{x}.
Quando x\to\infty então t\to 0^+. Reescrevendo a expressão em t:
x \ln\!\left(1-\sin\frac{1}{x}\right)=\frac{\ln\!\left(1-\sin t\right)}{t}.

Passo 3

Verifico a forma de \dfrac{\ln(1-\sin t)}{t} quando t\to0^+:
  • Numerador: \ln(1-\sin t)\to\ln 1=0.
  • Denominador: t\to0.
    Portanto a razão é da forma \dfrac{0}{0}, apta para aplicar o Teorema de L’Hôpital (desde que as hipóteses sejam satisfeitas).

Passo 4

L’Hôpital (versão para a forma 0/0) diz: se f(t) e g(t) são diferenciáveis numa vizinhança de 0 (exceto possivelmente em 0), g'(t)\neq0 perto de 0 e \lim_{t\to0}\dfrac{f'(t)}{g'(t)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{t\to0}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to0}\frac{f'(t)}{g'(t)}.
No nosso caso f(t)=\ln(1-\sin t) e g(t)=t. Essas funções são diferenciáveis para t suficientemente próximo de 0 (para t próximo de 0 temos 1-\sin t>0, logo o \ln está bem definido). Portanto as hipóteses se aplicam.

Passo 5

Calculo as derivadas necessárias.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dt}\ln(1-\sin t)=\frac{1}{1-\sin t}\cdot\frac{d}{dt}(1-\sin t) =\frac{1}{1-\sin t}\cdot(-\cos t) =-\frac{\cos t}{1-\sin t}.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dt} t = 1.
Pelo Teorema de L’Hôpital,
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1-\sin t)}{t} =\lim_{t\to0}\left(-\frac{\cos t}{1-\sin t}\right).

Passo 6

Avalio o limite do lado direito por substituição direta, já que as funções são contínuas em t=0:
\lim_{t\to0}\left(-\frac{\cos t}{1-\sin t}\right) =-\frac{\cos 0}{1-\sin 0} =-\frac{1}{1-0} =-1.
Assim o limite original é -1.

Passo 7

Checagem (intuitiva) com série de Taylor para confirmar a intuição: para t pequeno \sin t = t + O(t^3), então
\ln(1-\sin t)=\ln(1-t+O(t^3))=-t+O(t^2),
e portanto \dfrac{\ln(1-\sin t)}{t}=-1+O(t)\to-1. Confirmação consistente com o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

-1

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