Justifique, se verdadeiro, e apresente um contra-exemplo, se falso : "toda a função contínua
num intervalo aberto
atinge um valor máximo global
em algum número
em
".
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado afirma que: "toda função contínua
num intervalo aberto
atinge um valor máximo global
em algum número
".
O que nos é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, dar um contra-exemplo (uma função contínua em que não atinge máximo).
O que nos é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, dar um contra-exemplo (uma função contínua em
Passo 2
Precisamos entender bem o que significa “atingir um valor máximo global”. Vou definir explicitamente: uma função
com domínio
tem um máximo global em algum
quando existe
tal que
Se tal
não existir, dizemos que
não atinge máximo (pode ter supremo finito que não é alcançado, ou ser não limitada superiormente).
Passo 3
Uma informação teórica importante (que vamos usar para entender por que a afirmação pode falhar) é o seguinte resultado clássico: uma função contínua em um intervalo fechado e limitado
atinge máximo e mínimo (Teorema de Weierstrass). A ideia intuitiva: em
não existem “bordas infinitas” onde a função poderia aproximar um valor superior sem alcançá‑lo. No entanto,
é um intervalo aberto: os pontos
e
não pertencem ao domínio, então uma função contínua em
pode ter seu maior valor “quando
se aproxima de 1” sem que esse valor seja atingido em algum ponto do domínio.
Passo 4
Vou construir um contra‑exemplo simples e explicar passo a passo por que funciona. Considere a função
- Primeiro,
é contínua em (é uma função polinomial simples). - Para todo
vale , logo o conjunto de valores é o intervalo . - O supremo (menor majorante) desse conjunto de valores é
. Mas , porque não existe com . - Agora mostro diretamente que não existe
que seja máximo: suponha, por contradição, que exista com . Então e, por ser , podemos escolher um ponto com . Para esse temos , o que contradiz a maximalidade de . Portanto não existe tal .
Conclusão:é uma função contínua em que não atinge máximo.
Passo 5
Para fixar a intuição: existem outros contra‑exemplos com sabores diferentes. Por exemplo,
é contínua em
e é não limitada superiormente (tende a
quando
), então também não atinge máximo (ainda pior: não existe supremo finito). Esses exemplos mostram duas maneiras de falhar: supremo finito não alcançado (como
) ou ausência de majorante (como
).
Passo 6
Resumo didático e dica para prova: a propriedade “atinge máximo” para funções contínuas precisa do domínio ser compacto (fechado e limitado) — esse é o ponto essencial do Teorema de Weierstrass. Em provas, quando o domínio for um intervalo aberto como
, não se pode afirmar que a função atinge máximo; deve-se sempre checar comportamento nas extremidades que não pertencem ao domínio.
Resposta
Falso. Contraexemplo:
,
. Aqui
não é atingido por nenhum
.