Justifique, se verdadeiro, e apresente um contra-exemplo, se falso : "toda a função contínua f num intervalo aberto (0,1) atinge um valor máximo global f\text{(c)} em algum número c em (0,1)".

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado afirma que: "toda função contínua f num intervalo aberto (0,1) atinge um valor máximo global f\text{(c)} em algum número c\in(0,1)".
O que nos é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, dar um contra-exemplo (uma função contínua em (0,1) que não atinge máximo).

Passo 2

Precisamos entender bem o que significa “atingir um valor máximo global”. Vou definir explicitamente: uma função f com domínio (0,1) tem um máximo global em algum c\in(0,1) quando existe c\in(0,1) tal que
\forall x\in(0,1),\qquad f(x)\le f\text{(c)}.
Se tal c não existir, dizemos que f não atinge máximo (pode ter supremo finito que não é alcançado, ou ser não limitada superiormente).

Passo 3

Uma informação teórica importante (que vamos usar para entender por que a afirmação pode falhar) é o seguinte resultado clássico: uma função contínua em um intervalo fechado e limitado [a,b] atinge máximo e mínimo (Teorema de Weierstrass). A ideia intuitiva: em [a,b] não existem “bordas infinitas” onde a função poderia aproximar um valor superior sem alcançá‑lo. No entanto, (0,1) é um intervalo aberto: os pontos 0 e 1 não pertencem ao domínio, então uma função contínua em (0,1) pode ter seu maior valor “quando x se aproxima de 1” sem que esse valor seja atingido em algum ponto do domínio.

Passo 4

Vou construir um contra‑exemplo simples e explicar passo a passo por que funciona. Considere a função
f:(0,1)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x.
  • Primeiro, f é contínua em (0,1) (é uma função polinomial simples).
  • Para todo x\in(0,1) vale 0<x<1, logo o conjunto de valores f((0,1)) é o intervalo (0,1).
  • O supremo (menor majorante) desse conjunto de valores é \sup f((0,1))=1. Mas 1\notin f((0,1)), porque não existe x\in(0,1) com x=1.
  • Agora mostro diretamente que não existe c\in(0,1) que seja máximo: suponha, por contradição, que exista c\in(0,1) com f\text{(c)}=\max_{(0,1)} f. Então f\text{(c)}=c e, por ser c<1, podemos escolher um ponto y com c<y<1. Para esse y temos f(y)=y>c=f\text{(c)}, o que contradiz a maximalidade de f\text{(c)}. Portanto não existe tal c.
    Conclusão: f(x)=x é uma função contínua em (0,1) que não atinge máximo.

Passo 5

Para fixar a intuição: existem outros contra‑exemplos com sabores diferentes. Por exemplo, \displaystyle g(x)=\frac{1}{1-x} é contínua em (0,1) e é não limitada superiormente (tende a +\infty quando x\to1^-), então também não atinge máximo (ainda pior: não existe supremo finito). Esses exemplos mostram duas maneiras de falhar: supremo finito não alcançado (como f(x)=x) ou ausência de majorante (como g).

Passo 6

Resumo didático e dica para prova: a propriedade “atinge máximo” para funções contínuas precisa do domínio ser compacto (fechado e limitado) — esse é o ponto essencial do Teorema de Weierstrass. Em provas, quando o domínio for um intervalo aberto como (0,1), não se pode afirmar que a função atinge máximo; deve-se sempre checar comportamento nas extremidades que não pertencem ao domínio.

Resposta

Falso. Contraexemplo: f:(0,1)\to\mathbb{R}, f(x)=x. Aqui \sup f((0,1))=1 não é atingido por nenhum x\in(0,1).

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