Considere f(x)=\log _{2} x cujo domínio é o conjunto dos números reais maiores do que zero e g(x)=4^{x-1} cujo domínio é o conjunto dos números reais. Sendo h(x)=f(g(x)), determine o valor de h(2)-f(2).

Passo 1

O enunciado nos dá as funções e as informações seguintes:
  • f(x)=\log_{2} x com domínio todos os reais maiores que zero (ou seja, x>0).
  • g(x)=4^{\,x-1} com domínio todos os reais.
  • h(x)=f(g(x)).
    A pergunta é: determinar o valor de h(2)-f(2).

Passo 2

Primeiro vamos calcular g(2) plugando x=2 em g:
g(2)=4^{\,2-1}=4^{1}=4.
Comentário didático: 4^{x-1} é uma função exponencial; para x=2 obtemos 4^1. Note que g(2)=4>0, então o valor está dentro do domínio de f (que exige argumento positivo), portanto h(2)=f(g(2)) está bem definido.

Passo 3

Agora calculamos h(2)=f(g(2))=f(4)=\log_{2}4.
Explicação sobre logaritmo: \log_{2}4 é o número k tal que 2^{k}=4. Como 4=2^{2}, segue que
\log_{2}4=2.
Outra propriedade útil (geral) é \log_{b}(b^{k})=k; aqui b=2 e k=2.

Passo 4

Calculamos f(2)=\log_{2}2.
Usando a mesma ideia, \log_{2}2 é o número m tal que 2^{m}=2. Como 2=2^{1}, temos
\log_{2}2=1.

Passo 5

Agora subtraímos os valores obtidos:
h(2)-f(2)=2-1=1.
Verificação alternativa (propriedade dos logaritmos): \log_{2}4-\log_{2}2=\log_{2}\!\left(\dfrac{4}{2}\right)=\log_{2}2=1, bate com o resultado.

Resposta

1

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