Se \tan x=\frac{5}{12}, calcule \sin x e \cos x.

Passo 1

O enunciado dá a relação \tan x=\dfrac{5}{12}.
O que se pede: calcular \sin x e \cos x.
Informações relevantes fornecidas: \tan x é a razão entre seno e cosseno, e o número \dfrac{5}{12} é positivo.

Passo 2

Lembrando duas identidades fundamentais (vou explicar cada uma com calma):
  • Definição de tangente: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Aqui \sin x é o seno do ângulo x e \cos x é o cosseno do ângulo x.
  • Identidade pitagórica: \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Essa vem da definição de seno e cosseno num triângulo retângulo normalizado pela hipotenusa igual a 1, ou da circunferência trigonométrica.
Vou usar essas duas relações para encontrar \sin x e \cos x.

Passo 3

Use a definição da tangente para escrever \sin x em função de \cos x. Seja \sin x=S e \cos x=C. Daí
\frac{S}{C}=\frac{5}{12}\quad\Rightarrow\quad S=\frac{5}{12}\,C.
Agora substitui isso na identidade pitagórica:
S^{2}+C^{2}=1
\left(\frac{5}{12}C\right)^{2}+C^{2}=1.

Passo 4

Calcula passo a passo a equação para C^{2}:
\left(\frac{25}{144}\right)C^{2}+C^{2}=1.
Coloca em evidência C^{2}:
C^{2}\left(\frac{25}{144}+1\right)=1.
Soma dentro do parêntese (fazendo o mesmo denominador):
\frac{25}{144}+1=\frac{25}{144}+\frac{144}{144}=\frac{169}{144}.
Portanto
C^{2}\cdot\frac{169}{144}=1\quad\Rightarrow\quad C^{2}=\frac{144}{169}.
Tirando raiz quadrada,
C=\pm\frac{12}{13}.

Passo 5

Agora encontra S a partir de S=\dfrac{5}{12}C. Substituindo as duas possibilidades para C:
  • Se C=\dfrac{12}{13} então
S=\frac{5}{12}\cdot\frac{12}{13}=\frac{5}{13}.
  • Se C=-\dfrac{12}{13} então
S=\frac{5}{12}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{5}{13}.

Passo 6

Interpretação das duas soluções (importante para a prova): \tan x=\dfrac{5}{12} é positivo, então x pode estar em dois quadrantes onde a tangente é positiva: no primeiro quadrante (I), onde \sin x e \cos x são ambos positivos, ou no terceiro quadrante (III), onde ambos são negativos. Por isso as duas possibilidades obtidas:
  • Quadrante I: \sin x=\dfrac{5}{13} e \cos x=\dfrac{12}{13}.
  • Quadrante III: \sin x=-\dfrac{5}{13} e \cos x=-\dfrac{12}{13}.
Dica prática: pensar no triângulo retângulo com cateto oposto 5, cateto adjacente 12 e hipotenusa 13 (teorema de Pitágoras: 5^{2}+12^{2}=13^{2}) ajuda a memorizar os valores positivos; depois ajuste sinais conforme o quadrante.

Resposta

\sin x=\dfrac{5}{13},\\ \cos x=\dfrac{12}{13} (se x no 1.º quadrante)\n
\sin x=-\dfrac{5}{13},\\ \cos x=-\dfrac{12}{13} (se x no 3.º quadrante)

Exercícios relacionados