Se
, calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá a relação
.
O que se pede: calcular e
.
Informações relevantes fornecidas: é a razão entre seno e cosseno, e o número
é positivo.
O que se pede: calcular
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Lembrando duas identidades fundamentais (vou explicar cada uma com calma):
- Definição de tangente:
. Aqui é o seno do ângulo e é o cosseno do ângulo . - Identidade pitagórica:
. Essa vem da definição de seno e cosseno num triângulo retângulo normalizado pela hipotenusa igual a 1, ou da circunferência trigonométrica.
Vou usar essas duas relações para encontrar
e
.
Passo 3
Use a definição da tangente para escrever
em função de
. Seja
e
. Daí
Agora substitui isso na identidade pitagórica:
Passo 4
Calcula passo a passo a equação para
:
Coloca em evidência
:
Soma dentro do parêntese (fazendo o mesmo denominador):
Portanto
Tirando raiz quadrada,
Passo 5
Agora encontra
a partir de
. Substituindo as duas possibilidades para
:
- Se
então
- Se
então
Passo 6
Interpretação das duas soluções (importante para a prova):
é positivo, então
pode estar em dois quadrantes onde a tangente é positiva: no primeiro quadrante (I), onde
e
são ambos positivos, ou no terceiro quadrante (III), onde ambos são negativos. Por isso as duas possibilidades obtidas:
- Quadrante I:
e . - Quadrante III:
e .
Dica prática: pensar no triângulo retângulo com cateto oposto
, cateto adjacente
e hipotenusa
(teorema de Pitágoras:
) ajuda a memorizar os valores positivos; depois ajuste sinais conforme o quadrante.