Se
, determine o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação com logaritmos e pede encontrar
:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
. - Pelo domínio do logaritmo, devemos ter
. - As bases dos logaritmos são
e .
Passo 2
Vamos usar uma propriedade útil dos logaritmos: a fórmula de mudança de base. Ela diz que, para bases positivas diferentes de
,
Aplicando isso com
e
, obtemos
Como
, temos
. Portanto
Explicando em palavras: o logaritmo na base
pode ser escrito como metade do logaritmo na base
, porque
é
.
Passo 3
Substituímos essa relação na equação original. Defina
Então a equação fica
Isto é uma equação linear simples em
.
Passo 4
Vamos resolver a equação para
. Somando os termos do lado esquerdo:
Logo
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
,
Passo 5
Voltando à substituição, temos
Agora uso a definição exponencial do logaritmo: se
então
. Aplicando isso obtemos
Podemos também escrever essa potência como radicais, pois
Passo 6
Verificação rápida (sem calcular
numericamente): como
, então
. Somando
, que confere com a equação dada. Além disso
, então está no domínio do logaritmo.