Se \log _{3} x+\log _{9} x=1, determine o valor de x.

Passo 1

O enunciado dá a equação com logaritmos e pede encontrar x:
\log_{3} x + \log_{9} x = 1.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é x.
  • Pelo domínio do logaritmo, devemos ter x>0.
  • As bases dos logaritmos são 3 e 9.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade útil dos logaritmos: a fórmula de mudança de base. Ela diz que, para bases positivas diferentes de 1,
\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}.
Aplicando isso com c=3 e a=9, obtemos
\log_{9} x = \frac{\log_{3} x}{\log_{3} 9}.
Como 9=3^{2}, temos \log_{3} 9 = 2. Portanto
\log_{9} x = \frac{\log_{3} x}{2}.
Explicando em palavras: o logaritmo na base 9 pode ser escrito como metade do logaritmo na base 3, porque 9 é 3^2.

Passo 3

Substituímos essa relação na equação original. Defina
t=\log_{3} x.
Então a equação fica
t + \frac{t}{2} = 1.
Isto é uma equação linear simples em t.

Passo 4

Vamos resolver a equação para t. Somando os termos do lado esquerdo:
t+\frac{t}{2}=\frac{2t}{2}+\frac{t}{2}=\frac{3t}{2}.
Logo
\frac{3t}{2}=1.
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por 3,
t=\frac{2}{3}.

Passo 5

Voltando à substituição, temos
\log_{3} x = \frac{2}{3}.
Agora uso a definição exponencial do logaritmo: se \log_{a} b = c então b=a^{c}. Aplicando isso obtemos
x = 3^{\tfrac{2}{3}}.
Podemos também escrever essa potência como radicais, pois
3^{\tfrac{2}{3}}=\bigl(3^{\tfrac{1}{3}}\bigr)^{2}=\sqrt[3]{9}.

Passo 6

Verificação rápida (sem calcular x numericamente): como \log_{3} x=\tfrac{2}{3}, então \log_{9} x=\tfrac{1}{2}\log_{3} x=\tfrac{1}{3}. Somando \tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}=1, que confere com a equação dada. Além disso x=3^{2/3}>0, então está no domínio do logaritmo.

Resposta

x=3^{\tfrac{2}{3}}=\sqrt[3]{9}

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