Sendo as funções g(x)=3^{x+27} e h(x)=9^{2 x+3} dadas no conjunto dos números reais, determine o valor de x que as torna iguais nesse ponto.

Passo 1

O enunciado fornece as funções g(x)=3^{x+27} e h(x)=9^{2x+3} definidas em todos os números reais. A pergunta é: determinar o valor de x tal que g(x)=h(x), isto é, encontrar x que satisfaz
3^{x+27}=9^{2x+3}.
Informações relevantes dadas:
  • g(x)=3^{x+27}.
  • h(x)=9^{2x+3}.
  • O domínio é o conjunto dos números reais.
  • Quer-se o(s) valor(es) de x que tornam g(x) e h(x) iguais.

Passo 2

Vamos usar propriedades de potências para escrever as duas exponenciais com a mesma base. Lembrete da propriedade que vamos usar: para qualquer base a e expoentes b,c vale
(a^{b})^{c}=a^{bc}.
Também usaremos que 9=3^{2}. Aplicando isso a h(x) temos:
h(x)=9^{2x+3}=(3^{2})^{2x+3}=3^{2(2x+3)}.
Agora calculamos o produto no expoente:
2(2x+3)=4x+6,
portanto
h(x)=3^{4x+6}.

Passo 3

Agora a igualdade procurada fica
3^{x+27}=3^{4x+6}.
Explicando o porquê de poder igualar os expoentes: a função exponencial a^{t} com base a>0 e a\neq1 é injetora (uma-a-uma), isto é, se a^{u}=a^{v} então necessariamente u=v. Aqui a base é 3, que satisfaz 3>0 e 3\neq1. Logo podemos concluir que
x+27=4x+6.

Passo 4

Resolvendo a equação linear x+27=4x+6. Subtraindo x dos dois lados:
27=3x+6.
Subtraindo 6 dos dois lados:
21=3x.
Dividindo por 3:
x=7.

Passo 5

Verificação rápida (importante para não errar na prova): calcular g(7) e h(7).
g(7)=3^{7+27}=3^{34},
h(7)=9^{2\cdot7+3}=9^{17}=(3^{2})^{17}=3^{34}.
Como os dois dão 3^{34}, a solução x=7 está correta.

Resposta

x=7

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