Sendo as funções
e
dadas no conjunto dos números reais, determine o valor de
que as torna iguais nesse ponto.
Passo 1
O enunciado fornece as funções
e
definidas em todos os números reais. A pergunta é: determinar o valor de
tal que
, isto é, encontrar
que satisfaz
Informações relevantes dadas:
-
. -
. - O domínio é o conjunto dos números reais.
- Quer-se o(s) valor(es) de
que tornam e iguais.
Passo 2
Vamos usar propriedades de potências para escrever as duas exponenciais com a mesma base. Lembrete da propriedade que vamos usar: para qualquer base
e expoentes
vale
Também usaremos que
. Aplicando isso a
temos:
Agora calculamos o produto no expoente:
portanto
Passo 3
Agora a igualdade procurada fica
Explicando o porquê de poder igualar os expoentes: a função exponencial
com base
e
é injetora (uma-a-uma), isto é, se
então necessariamente
. Aqui a base é
, que satisfaz
e
. Logo podemos concluir que
Passo 4
Resolvendo a equação linear
. Subtraindo
dos dois lados:
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
:
Passo 5
Verificação rápida (importante para não errar na prova): calcular
e
.
Como os dois dão
, a solução
está correta.