Considere f(x, \mathrm{y})=u(x, y, 0) como sendo a temperatura inicial numa fina chapa quadrada de lado \pi, com as bordas mantidas a 0^{\circ} \mathrm{Ce} as faces perfeitamente isoladas. Separando as variáveis, obtenha, a partir de u_{t}=c^{2} \nabla^{2} u a solução
u(x, y, t)=\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} B_{m n} \operatorname{sen} m x \operatorname{sen} n y e^{-c^{2}\left(m^{2}+n^{2}\right) t}
na qual
B_{m n}=\frac{4}{\pi^{2}} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x, y) \operatorname{sen} m x \operatorname{sen} n y d x d y
Passo 1
O enunciado dá:
u_{t}=c^{2}\nabla^{2}u
numa chapa fina quadrada com 0\le x\le\pi,\;0\le y\le\pi. As condições de contorno são bordas mantidas a 0^\circ (ou seja, temperatura zero nas quatro arestas) e faces isoladas no sentido da espessura (isto permite tratar o problema em 2D). A condição inicial é
u(x,y,0)=f(x,y).
O que nos pedem: obter por separação de variáveis a solução da forma
Vamos tentar uma solução por separação de variáveis, isto é, assumir forma produto:
u(x,y,t)=X(x)\,Y(y)\,T(t).
Isto significa que a variação em x, y e t é separável em fatores independentes. Não é garantia de cobrir todas as soluções, mas gera as soluções fundamentais (modos) que depois somaremos.
Passo 3
Substituindo a forma separada na equação do calor:
\frac{\partial}{\partial t}(X Y T)=c^{2}\nabla^{2}(X Y T).
Como Y e T não são identicamente zero, deve ser X(0)=X(\pi)=0. Analogamente para as bordas em y obtemos Y(0)=Y(\pi)=0.
Problemas com essas condições homogêneas têm soluções não-triviais apenas para certos autovalores. Para X com X(0)=X(\pi)=0 temos autovalores \mu=m^{2} com m\in\mathbb{N} e autofunções
X_{m}(x)=\operatorname{sen}(m x).
Para Y com Y(0)=Y(\pi)=0 temos autovalores \lambda-\mu=n^{2} com n\in\mathbb{N} e autofunções
Assim os coeficientes A_{mn} são os coeficientes da série de Fourier de f na base \{\operatorname{sen}(m x)\operatorname{sen}(n y)\}.
Passo 8
Para obter A_{mn}\) usamos a propriedade de ortogonalidade das funções seno no intervalo \([0,\pi]\). A propriedade é:
\[\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(m x)\operatorname{sen}(k x)\,dx= \begin{cases} 0,& m\ne k,\\[4pt] \frac{\pi}{2},& m=k. \end{cases}
Usamos essa ortogonalidade nas duas direções. Multiplicamos a expansão por \operatorname{sen}(m x)\operatorname{sen}(n y)\] e integramos em \(x e y de 0 a \pi: