Encontre a temperatura no Problema 35 se
Passo 1
O que o enunciado me deu: a função
O que não foi enviado (informação necessária e que falta): o enunciado completo do “Problema 35” — em particular não sei qual é o domínio, quais são as condições de contorno (Dirichlet/Neumann), nem qual a equação que relaciona a temperatura
com
(por exemplo, se é a equação de Poisson
ou outra). Sem essas informações não dá para determinar uma única resposta numérica/funcional.
Para avançar e ser útil, vou adotar a hipótese canônica que costuma aparecer em livros e provas semelhantes: o domínio é o retângulo
, as condições de contorno são de Dirichlet homogêneas (temperatura zero nas quatro bordas) e a equação estacionária com fonte interna é
com
Se essa hipótese for exatamente o que o “Problema 35” pedia, abaixo eu resolvo passo a passo. Se o problema for diferente, a técnica muda — mas me diz depois qual é o enunciado completo e eu adapto.
Passo 2
Estratégia (explicada de maneira didática):
- Para o problema com domínio
- A propriedade fundamental que usamos é a ortogonalidade dos senos no intervalo
:
- Aplicando o Laplaciano à série de obtemos termo a termo
- Então a tarefa reduz-se a calcular os coeficientes
da expansão de .]
Passo 3
Cálculo dos coeficientes
. Definição prática:
Observação útil:
com
e
. Pela separabilidade,
Ou seja,
com
As duas integrais são análogas; vou calcular
e o mesmo resultado vale para
trocando
por
.
Passo 4
Cálculo de
com integrações por partes (passo a passo).
Primeiro, separamos:
Primeiro, separamos:
Chamemos
e
.
Cálculo de
: integrate by parts
Como
e
, obtemos
Cálculo de
: integração por partes duas vezes. Primeiro,
onde
.
Calcule
por partes:
Portanto
Agora volte a
:
Os termos com
se anulam, sobrando
Passo 5
Como
é análogo a
(apenas trocando
por
e
por
), obtemos
Logo
Note que
se
é par e
se
é ímpar. Portanto
é zero sempre que
ou
for par, e quando ambos são ímpares:
Passo 6
Voltando à expressão de
,
Assim a solução (temperatura estacionária) fica, para o caso assumido,
o que reduz, usando o resultado para
, a uma soma sobre índices ímpares:
Passo 7
Comentário final e incentivo: então, sob a hipótese canônica (domínio
, contorno zero, equação
), essa série é a temperatura em qualquer ponto interior. Ela converge rapidamente porque os termos caem como
ou melhor (quando fixamos um índice e somamos no outro), então na prática apenas os primeiros termos ímpares já dão uma boa aproximação. Se o “Problema 35” que você tem for outro (outro domínio ou contorno), me diga o enunciado completo e eu adapto a resolução do mesmo jeito passo a passo — você está indo bem, continua! 😃