Encontre a temperatura de distribuição numa fina barra de cobre lateralmente isolada ( c^{2}=T / \rho \sigma=1,158 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} ), com de 50 cm de comprimento e seção reta constante, tendo as extremidades em x=0 e 50 e mantida a 0^{\circ} \mathrm{C}, e a uma temperatura inicial de
f(x)=4 \operatorname{sen}^{3}(\pi x / 10)

Passo 1

O enunciado pede a temperatura ao longo do tempo numa barra fina de cobre, lateralmente isolada, de comprimento 50 cm, cujas extremidades em x=0 e x=50 são mantidas a 0^\circ\mathrm{C}. A barra tem difusividade térmica dada por c^{2}=1,158\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}. A condição inicial é
f(x)=4\sin^{3}\!\left(\frac{\pi x}{10}\right).
Então, objetivamente, queremos encontrar a função u(x,t) que dá a temperatura em função da posição x\in[0,50] e do tempo t\ge0, satisfazendo as condições de contorno e a condição inicial dadas.

Passo 2

Escrevendo o problema matematicamente, temos a equação do calor unidimensional (barra uniforme, lateralmente isolada)
u_{t}=c^{2}u_{xx},\qquad 0<x<50,\; t>0,
com condições de contorno de Dirichlet (extremidades mantidas a zero)
u(0,t)=0,\qquad u(50,t)=0,\qquad t\ge 0,
e condição inicial
u(x,0)=f(x)=4\sin^{3}\!\left(\frac{\pi x}{10}\right),\qquad 0\le x\le 50.
Aqui u(x,t) é a temperatura (em graus Celsius), u_{t} é a derivada parcial no tempo, u_{xx} é a derivada segunda em x, e c^{2}=1,158 é a constante de difusividade térmica.

Passo 3

Método: vamos usar separação de variáveis e expansão em autovetores (série de Fourier em senos), que é o procedimento padrão quando as condições de contorno são homogêneas (aqui u=0 nas extremidades). A ideia é procurar soluções da forma
u(x,t)=X(x)T(t).
Substituindo na equação do calor e separando, obtemos duas ODEs com uma constante de separação (autovalor). Vou mostrar passo a passo como obter os autovalores e autovetores espaciais.

Passo 4

Substituindo u(x,t)=X(x)T(t) em u_{t}=c^{2}u_{xx} obtemos
X(x)T'(t)=c^{2}X''(x)T(t).
Dividindo por c^{2}X(x)T(t) (assumindo não constantes nulas), chega-se a
\frac{T'(t)}{c^{2}T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é uma constante (o sinal negativo é convencional para obter espectro positivo). Assim temos as duas ODEs
\text{(I)}\quad T'(t)=-c^{2}\lambda T(t),
\text{(II)}\quad X''(x)+\lambda X(x)=0,
com as condições de contorno X(0)=0 e X(50)=0.

Passo 5

A equação espacial X''+\lambda X=0 com X(0)=X(50)=0 tem soluções não-triviais apenas para \lambda>0. Escrevemos \lambda=(\mu)^{2} e as soluções admissíveis são senos. Os autovalores e autovetores são (padrão para intervalo [0,L] com L=50):
\lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}=\left(\frac{n\pi}{50}\right)^{2},\qquad n=1,2,3,\dots
X_{n}(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{50}\right).
Cada modo espacial X_{n} tem uma função temporal associada, obtida da equação (I).

Passo 6

A equação temporal (I) para cada \lambda_{n} é uma ODE linear de primeira ordem:
T_{n}'(t)=-c^{2}\lambda_{n}T_{n}(t).
Solução:
T_{n}(t)=A_{n}\,e^{-c^{2}\lambda_{n} t}=A_{n}\,e^{-c^{2}\left(\frac{n\pi}{50}\right)^{2}t},
onde A_{n} é uma constante determinada pela condição inicial. Assim cada modo separado dá a solução
u_{n}(x,t)=A_{n}\,e^{-c^{2}\left(\frac{n\pi}{50}\right)^{2}t}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{50}\right).

Passo 7

A solução geral, como série de Fourier em senos, é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,e^{-c^{2}\left(\frac{n\pi}{50}\right)^{2}t}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{50}\right).
As constantes A_{n} são os coeficientes da expansão de Fourier-seno da condição inicial f(x):
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{50}\right).
No entanto, neste problema a condição inicial já é uma função trigonométrica que pode ser simplificada — isso vai facilitar muito: não haverá necessidade de calcular integrais gerais.

Passo 8

Vamos simplificar f(x). Use a identidade trigonométrica clássica
\sin^{3}\theta=\frac{3\sin\theta-\sin(3\theta)}{4}.
Aplicando com \theta=\dfrac{\pi x}{10} obtemos
\sin^{3}\!\left(\frac{\pi x}{10}\right)=\frac{3\sin\!\left(\frac{\pi x}{10}\right)-\sin\!\left(\frac{3\pi x}{10}\right)}{4}.
Multiplicando por 4 (pois f(x)=4\sin^{3}(\pi x/10)):
f(x)=4\sin^{3}\!\left(\frac{\pi x}{10}\right)=3\sin\!\left(\frac{\pi x}{10}\right)-\sin\!\left(\frac{3\pi x}{10}\right).

Passo 9

Agora observe que L=50, então os modos \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{50}\right) são os autovetores. Note que
\sin\!\left(\frac{\pi x}{10}\right)=\sin\!\left(\frac{5\pi x}{50}\right)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{50}\right)\\ \text{com}\\ n=5,
e
\sin\!\left(\frac{3\pi x}{10}\right)=\sin\!\left(\frac{15\pi x}{50}\right)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{50}\right)\\ \text{com}\\ n=15.
Assim a expansão de f(x) na base de senos tem apenas dois termos não nulos: coeficiente A_{5}=3 e coeficiente A_{15}=-1. Todos os outros A_{n} são zero.

Passo 10

Substituindo esses coeficientes na série geral, obtemos a solução explícita com apenas dois modos:
u(x,t)=3\,e^{-c^{2}\left(\frac{5\pi}{50}\right)^{2}t}\sin\!\left(\frac{5\pi x}{50}\right)\;-\;1\,e^{-c^{2}\left(\frac{15\pi}{50}\right)^{2}t}\sin\!\left(\frac{15\pi x}{50}\right).
Simplificando as frações \dfrac{5\pi}{50}=\dfrac{\pi}{10} e \dfrac{15\pi}{50}=\dfrac{3\pi}{10}, e lembrando c^{2}=1,158, podemos escrever de forma mais compacta:
u(x,t)=3\,e^{-1{,}158\left(\frac{\pi}{10}\right)^{2}t}\sin\!\left(\frac{\pi x}{10}\right)\;-\;e^{-1{,}158\left(\frac{3\pi}{10}\right)^{2}t}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{10}\right).
Essa expressão satisfaz as condições de contorno (é zero em x=0 e x=50 para todo t) e em t=0 recupera f(x) pela identidade usada.

Passo 11

Interpretação física rápida e encorajamento: a solução é uma soma de dois modos que decaem exponencialmente no tempo, cada qual com uma taxa proporcional ao quadrado da frequência espacial. O modo com frequência maior ( \sin(3\pi x/10), ou seja n=15) decai mais rápido que o modo de frequência menor ( \sin(\pi x/10), n=5). Isso significa que, conforme t aumenta, a forma da temperatura se aproxima do primeiro modo dominante e, por fim, tende a zero em toda a barra (as extremidades forçam o resfriamento total). Força aí — você já tem a solução explícita e utilizável na prova!

Resposta

u(x,t)=3\,e^{-1{,}158\left(\frac{\pi}{10}\right)^{2}t}\sin\!\left(\frac{\pi x}{10}\right)\;-\;e^{-1{,}158\left(\frac{3\pi}{10}\right)^{2}t}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{10}\right).

Exercícios relacionados