Encontre a temperatura de distribuição numa fina barra de cobre lateralmente isolada (
), com de 50 cm de comprimento e seção reta constante, tendo as extremidades em
e 50 e mantida a
, e a uma temperatura inicial de
Passo 1
O enunciado pede a temperatura ao longo do tempo numa barra fina de cobre, lateralmente isolada, de comprimento
cm, cujas extremidades em
e
são mantidas a
. A barra tem difusividade térmica dada por
. A condição inicial é
Então, objetivamente, queremos encontrar a função
que dá a temperatura em função da posição
e do tempo
, satisfazendo as condições de contorno e a condição inicial dadas.
Passo 2
Escrevendo o problema matematicamente, temos a equação do calor unidimensional (barra uniforme, lateralmente isolada)
com condições de contorno de Dirichlet (extremidades mantidas a zero)
e condição inicial
Aqui
é a temperatura (em graus Celsius),
é a derivada parcial no tempo,
é a derivada segunda em
, e
é a constante de difusividade térmica.
Passo 3
Método: vamos usar separação de variáveis e expansão em autovetores (série de Fourier em senos), que é o procedimento padrão quando as condições de contorno são homogêneas (aqui
nas extremidades). A ideia é procurar soluções da forma
Substituindo na equação do calor e separando, obtemos duas ODEs com uma constante de separação (autovalor). Vou mostrar passo a passo como obter os autovalores e autovetores espaciais.
Passo 4
Substituindo
em
obtemos
Dividindo por
(assumindo não constantes nulas), chega-se a
onde
é uma constante (o sinal negativo é convencional para obter espectro positivo). Assim temos as duas ODEs
com as condições de contorno
e
.
Passo 5
A equação espacial
com
tem soluções não-triviais apenas para
. Escrevemos
e as soluções admissíveis são senos. Os autovalores e autovetores são (padrão para intervalo
com
):
Cada modo espacial
tem uma função temporal associada, obtida da equação (I).
Passo 6
A equação temporal (I) para cada
é uma ODE linear de primeira ordem:
Solução:
onde
é uma constante determinada pela condição inicial. Assim cada modo separado dá a solução
Passo 7
A solução geral, como série de Fourier em senos, é
As constantes
são os coeficientes da expansão de Fourier-seno da condição inicial
:
No entanto, neste problema a condição inicial já é uma função trigonométrica que pode ser simplificada — isso vai facilitar muito: não haverá necessidade de calcular integrais gerais.
Passo 8
Vamos simplificar
. Use a identidade trigonométrica clássica
Aplicando com
obtemos
Multiplicando por
(pois
):
Passo 9
Agora observe que
, então os modos
são os autovetores. Note que
e
Assim a expansão de
na base de senos tem apenas dois termos não nulos: coeficiente
e coeficiente
. Todos os outros
são zero.
Passo 10
Substituindo esses coeficientes na série geral, obtemos a solução explícita com apenas dois modos:
Simplificando as frações
e
, e lembrando
, podemos escrever de forma mais compacta:
Essa expressão satisfaz as condições de contorno (é zero em
e
para todo
) e em
recupera
pela identidade usada.
Passo 11
Interpretação física rápida e encorajamento: a solução é uma soma de dois modos que decaem exponencialmente no tempo, cada qual com uma taxa proporcional ao quadrado da frequência espacial. O modo com frequência maior (
, ou seja
) decai mais rápido que o modo de frequência menor (
,
). Isso significa que, conforme
aumenta, a forma da temperatura se aproxima do primeiro modo dominante e, por fim, tende a zero em toda a barra (as extremidades forçam o resfriamento total). Força aí — você já tem a solução explícita e utilizável na prova!