Encontre a temperatura estacionária na chapa do Problema 31 se o lado inferior for mantido a U_{0}{ }^{\circ} \mathrm{C}, o lado superior a U_{1}{ }^{\circ} \mathrm{C} e os demais lados mantidos a 0^{\circ} \mathrm{C}. Sugestão: divida este problema em dois, nos quais a temperatura de contorno é 0 em três lados para cada problema.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pedem: encontrar a temperatura estacionária u(x,y)\) numa chapa retangular quando o lado inferior (em \(y=0\)) é mantido a \(U_0\) °C, o lado superior (em \(y=b\)) é mantido a \(U_1\) °C e os dois lados verticais (em \(x=0\) e \(x=a\)) são mantidos a \(0\) °C. - Informações relevantes (assumidas do problema típico de chapa retangular): - O domínio da chapa é o retângulo \(\{(x,y)\mid 0<x<a,\;0<y<b\}\). - Estado estacionário: a temperatura satisfaz a equação de Laplace \[u_{xx}+u_{yy}=0no interior do retângulo.
    • Condições de contorno: \begin{cases} u(x,0)=U_0, & 0<x<a,\\[4pt] u(x,b)=U_1, & 0<x<a,\\[4pt] u(0,y)=0, & 0<y<b,\\[4pt] u(a,y)=0, & 0<y<b. \end{cases}
  • Observação do enunciado: sugere dividir o problema em dois problemas lineares (superposição): um com u(x,0)=U_0\], \(u(x,b)=0, lados verticais zero; o outro com u(x,0)=0, u(x,b)=U_1, lados verticais zero. Somando as soluções teremos a solução do problema original, por linearidade da equação de Laplace.]

Passo 2

Estratégia geral (sem ainda resolver): usar superposição e separação de variáveis.
  • Por linearidade, escrevemos u(x,y)=u^{(0)}(x,y)+u^{(1)}(x,y),onde \begin{cases} u^{(0)}\\ \text{satisfaz}\\ u_{xx}+u_{yy}=0,\\\ u^{(0)}(x,0)=U_0,\quad u^{(0)}(x,b)=0,\quad u^{(0)}(0,y)=u^{(0)}(a,y)=0, \end{cases}e \begin{cases} u^{(1)}\\ \text{satisfaz}\\ u_{xx}+u_{yy}=0,\\\ u^{(1)}(x,0)=0,\quad u^{(1)}(x,b)=U_1,\quad u^{(1)}(0,y)=u^{(1)}(a,y)=0. \end{cases}
  • Para cada subproblema vamos aplicar separação de variáveis: procurar soluções do tipo \Phi(x,y)=X(x)Y(y). Vou resolver o subproblema de U_0 em detalhe; o de U_1 é análogo.

Passo 3

Separation of variables: equação e condições nas direções.
  • Começamos assumindo u^{(0)}(x,y)=X(x)Y(y). Inserindo em \,u_{xx}+u_{yy}=0 X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\lambda,onde \lambda é constante de separação.
  • Pelas condições laterais u^{(0)}(0,y)=u^{(0)}(a,y)=0 queremos X(0)=X(a)=0. Isso implica que devemos escolher autovalores positivos \lambda=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2,\qquad n=1,2,3,\dotse autovetores X_n(x)=\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg).
  • Para cada n definimos \kappa_n=\dfrac{n\pi}{a}. A equação para Y fica Y''(y)-\kappa_n^{2}Y(y)=0,cuja solução geral é combinação linear de \operatorname{sinh}(\kappa_n y) e \operatorname{cosh}(\kappa_n y).

Passo 4

Impor as condições em y para o subproblema com U_0.
  • Para u^{(0)} queremos u^{(0)}(x,0)=U_0 e u^{(0)}(x,b)=0. Escrevemos a solução separada como u^{(0)}(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\,Y_n(y).
  • Para satisfazer Y_n(0)=1 convenientemente e Y_n(b)=0, escolhemos Y_n(y)=\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n(b-y)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n b\big)}.Verificação rápida:
    • em y=0: Y_n(0)=\dfrac{\operatorname{sinh}(\kappa_n b)}{\operatorname{sinh}(\kappa_n b)}=1;
    • em y=b: Y_n(b)=\dfrac{\operatorname{sinh}(0)}{\operatorname{sinh}(\kappa_n b)}=0;
    • Y_n satisfaz Y_n''-\kappa_n^2 Y_n=0.
  • Assim u^{(0)}(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n(b-y)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n b\big)}.

Passo 5

Determinar os coeficientes A_n pela expansão da condição em y=0.
  • A condição u^{(0)}(x,0)=U_0 implica U_0=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg),\qquad 0<x<a.Ou seja, expandimos a função constante U_0 numa série de senos no intervalo (0,a).
  • Os coeficientes da série de senos são dados por A_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} U_0\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\,dx.Como U_0 é constante, isso dá A_n=\frac{2U_0}{a}\cdot\frac{a}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big)=\frac{2U_0}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).
  • Observação importante: \big(1-(-1)^n\big)=0 para n par e =2 para n ímpar. Portanto somente os termos de n ímpar aparecem; para n ímpar A_n=\frac{4U_0}{n\pi},\quad n\\ \text{ímpar}.í

Passo 6

Escrever a solução u^{(0)}(x,y) final.
  • Substituindo A_n e \kappa_n temos u^{(0)}(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2U_0}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}(b-y)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}b\big)}.
  • Uma forma mais enxuta, somando apenas sobre n ímpares, é u^{(0)}(x,y)=\sum_{\substack{n=1\n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{4U_0}{n\pi}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}(b-y)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}b\big)}.

Passo 7

Resolver o subproblema com U_1 (análogo) e obter u^{(1)}.
  • Pelo mesmo raciocínio (agora u^{(1)}(x,0)=0, u^{(1)}(x,b)=U_1, lados verticais zero) obtemos função base em y que vale 0 em y=0 e 1 em y=b, por isso escolhemos \widetilde Y_n(y)=\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n y\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n b\big)}.Assim a forma geral é u^{(1)}(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n y\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n b\big)}.
  • Coeficientes B_n obtidos da condição u^{(1)}(x,b)=U_1: B_n=\frac{2}{a}\int_0^a U_1\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\,dx=\frac{2U_1}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).Novamente só n ímpares aparecem, e para n ímpar B_n=\dfrac{4U_1}{n\pi}.
  • Portanto u^{(1)}(x,y)=\sum_{\substack{n=1\n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{4U_1}{n\pi}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}y\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}b\big)}.

Passo 8

Somar as duas soluções para obter a solução total u(x,y).
  • Pela superposição u(x,y)=u^{(0)}(x,y)+u^{(1)}(x,y).Substituindo as séries obtidas: u(x,y)=\sum_{\substack{n=1\n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{4}{n\pi}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg) \left[\,U_0\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}(b-y)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}b\big)} +U_1\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}y\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}b\big)}\right].
  • Esta série satisfaz todas as condições de contorno:
    • em y=0: \operatorname{sinh}(\kappa_n(b-y))=\operatorname{sinh}(\kappa_n b) e \operatorname{sinh}(\kappa_n y)=0, dando u(x,0)=U_0;
    • em y=b: \operatorname{sinh}(\kappa_n(b-y))=0 e \operatorname{sinh}(\kappa_n y)=\operatorname{sinh}(\kappa_n b), dando u(x,b)=U_1;
    • em x=0 ou x=a, os senos anulam, dando zero nas laterais.
  • Intuição: só os modos com senos em x aparecem porque as bordas laterais são fixas a zero; somente os termos ímpares aparecem porque estamos expandindo uma função constante em uma base de senos (a constante tem simetria que anula os termos pares).

Resposta

u(x,y)=\sum_{\substack{n=1\n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{4}{n\pi}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg) \left[\,U_0\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}(b-y)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}b\big)} +U_1\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}y\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}b\big)}\right].

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