Encontre a temperatura estacionária na chapa do Problema 31 se o lado inferior for mantido a U_{0}{ }^{\circ} \mathrm{C}, o lado superior a U_{1}{ }^{\circ} \mathrm{C} e os demais lados mantidos a 0^{\circ} \mathrm{C}. Sugestão: divida este problema em dois, nos quais a temperatura de contorno é 0 em três lados para cada problema.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
Pedem: encontrar a temperatura estacionária u(x,y)\) numa chapa retangular quando o lado inferior (em \(y=0\)) é mantido a \(U_0\) °C, o lado superior (em \(y=b\)) é mantido a \(U_1\) °C e os dois lados verticais (em \(x=0\) e \(x=a\)) são mantidos a \(0\) °C.
- Informações relevantes (assumidas do problema típico de chapa retangular):
- O domínio da chapa é o retângulo \(\{(x,y)\mid 0<x<a,\;0<y<b\}\).
- Estado estacionário: a temperatura satisfaz a equação de Laplace
\[u_{xx}+u_{yy}=0no interior do retângulo.
Observação do enunciado: sugere dividir o problema em dois problemas lineares (superposição): um com u(x,0)=U_0\], \(u(x,b)=0, lados verticais zero; o outro com u(x,0)=0, u(x,b)=U_1, lados verticais zero. Somando as soluções teremos a solução do problema original, por linearidade da equação de Laplace.]
Passo 2
Estratégia geral (sem ainda resolver): usar superposição e separação de variáveis.
Para cada subproblema vamos aplicar separação de variáveis: procurar soluções do tipo \Phi(x,y)=X(x)Y(y). Vou resolver o subproblema de U_0 em detalhe; o de U_1 é análogo.
Passo 3
Separation of variables: equação e condições nas direções.
Começamos assumindo u^{(0)}(x,y)=X(x)Y(y). Inserindo em \,u_{xx}+u_{yy}=0 dáX''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\lambda,onde \lambda é constante de separação.
Pelas condições laterais u^{(0)}(0,y)=u^{(0)}(a,y)=0 queremos X(0)=X(a)=0. Isso implica que devemos escolher autovalores positivos\lambda=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2,\qquad n=1,2,3,\dotse autovetoresX_n(x)=\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg).
Para cada n definimos \kappa_n=\dfrac{n\pi}{a}. A equação para Y ficaY''(y)-\kappa_n^{2}Y(y)=0,cuja solução geral é combinação linear de \operatorname{sinh}(\kappa_n y) e \operatorname{cosh}(\kappa_n y).
Passo 4
Impor as condições em y para o subproblema com U_0.
Para u^{(0)} queremos u^{(0)}(x,0)=U_0 e u^{(0)}(x,b)=0. Escrevemos a solução separada comou^{(0)}(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\,Y_n(y).
Para satisfazer Y_n(0)=1 convenientemente e Y_n(b)=0, escolhemosY_n(y)=\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n(b-y)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n b\big)}.Verificação rápida:
em y=0: Y_n(0)=\dfrac{\operatorname{sinh}(\kappa_n b)}{\operatorname{sinh}(\kappa_n b)}=1;
em y=b: Y_n(b)=\dfrac{\operatorname{sinh}(0)}{\operatorname{sinh}(\kappa_n b)}=0;
Determinar os coeficientes A_n pela expansão da condição em y=0.
A condição u^{(0)}(x,0)=U_0 implicaU_0=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg),\qquad 0<x<a.Ou seja, expandimos a função constante U_0 numa série de senos no intervalo (0,a).
Os coeficientes da série de senos são dados porA_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} U_0\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\,dx.Como U_0 é constante, isso dáA_n=\frac{2U_0}{a}\cdot\frac{a}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big)=\frac{2U_0}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).
Observação importante: \big(1-(-1)^n\big)=0 para n par e =2 para n ímpar. Portanto somente os termos de n ímpar aparecem; para n ímparA_n=\frac{4U_0}{n\pi},\quad n\\ \text{ímpar}.í
Passo 6
Escrever a solução u^{(0)}(x,y) final.
Substituindo A_n e \kappa_n temosu^{(0)}(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2U_0}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}(b-y)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}b\big)}.
Uma forma mais enxuta, somando apenas sobre n ímpares, éu^{(0)}(x,y)=\sum_{\substack{n=1\n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{4U_0}{n\pi}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}(b-y)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}b\big)}.
Passo 7
Resolver o subproblema com U_1 (análogo) e obter u^{(1)}.
Pelo mesmo raciocínio (agora u^{(1)}(x,0)=0, u^{(1)}(x,b)=U_1, lados verticais zero) obtemos função base em y que vale 0 em y=0 e 1 em y=b, por isso escolhemos\widetilde Y_n(y)=\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n y\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n b\big)}.Assim a forma geral éu^{(1)}(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n y\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\kappa_n b\big)}.
Coeficientes B_n obtidos da condição u^{(1)}(x,b)=U_1:B_n=\frac{2}{a}\int_0^a U_1\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\,dx=\frac{2U_1}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).Novamente só n ímpares aparecem, e para n ímpar B_n=\dfrac{4U_1}{n\pi}.
Somar as duas soluções para obter a solução total u(x,y).
Pela superposiçãou(x,y)=u^{(0)}(x,y)+u^{(1)}(x,y).Substituindo as séries obtidas:u(x,y)=\sum_{\substack{n=1\n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{4}{n\pi}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg) \left[\,U_0\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}(b-y)\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}b\big)} +U_1\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}y\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{n\pi}{a}b\big)}\right].
Esta série satisfaz todas as condições de contorno:
em y=0: \operatorname{sinh}(\kappa_n(b-y))=\operatorname{sinh}(\kappa_n b) e \operatorname{sinh}(\kappa_n y)=0, dando u(x,0)=U_0;
em y=b: \operatorname{sinh}(\kappa_n(b-y))=0 e \operatorname{sinh}(\kappa_n y)=\operatorname{sinh}(\kappa_n b), dando u(x,b)=U_1;
em x=0 ou x=a, os senos anulam, dando zero nas laterais.
Intuição: só os modos com senos em x aparecem porque as bordas laterais são fixas a zero; somente os termos ímpares aparecem porque estamos expandindo uma função constante em uma base de senos (a constante tem simetria que anula os termos pares).