Considere f(x)=\operatorname{sen}(\mathrm{x}). Determine a linearização de f em x=0. Utilize essa linearização para determinar uma aproximação de \operatorname{sen}(0,1). Utilize uma calculadora para determinar o erro cometido.

Passo 1

O enunciado pede a linearização de f(x)=\sin(x) em x_0=0 e, em seguida, usar essa aproximação para estimar \sin(0,1). Vamos aplicar o conceito de linearização (aproximação de primeira ordem da série de Taylor) e depois calcular o erro usando uma calculadora.

Passo 2

Para linearizar em x_0=0 usamos a fórmula
L(x) = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0).
Como f(x)=\sin(x), temos
f(0)=\sin(0)=0,\quad f'(x)=\cos(x)\implies f'(0)=\cos(0)=1.
Logo,
L(x) = 0 + 1\cdot(x-0)=x.

Passo 3

Usando L(x)=x para aproximar \sin(0,1), basta substituir x=0,1:
L(0,1)=0,1.
Portanto, a aproximação linear é \sin(0,1)\approx0,1.

Passo 4

Agora calculamos o valor exato (pela calculadora) e o erro.
Pela calculadora:
\sin(0,1)\approx0,0998334166.
O erro absoluto é
\bigl|\sin(0,1)-L(0,1)\bigr|=\bigl|0,0998334166-0,1\bigr|\approx0,0001665834.

Resposta

A linearização é
L(x)=x.
Aproximação de \sin(0,1):
\sin(0,1)\approx0,1.
Erro absoluto aproximado:
\approx1,6658\times10^{-4}.

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