Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
O conteúdo usado será o teste da raiz (ou razão) para séries de potências e, em seguida, o estudo da convergência nos pontos
.
Passo 2
Façamos a mudança de índice
. A série passa a ser
com
Passo 3
Para determinar o raio de convergência
, aplicamos o teste da raiz, que diz
Passo 4
Como
segue que
Passo 5
Agora testamos os extremos
.
Passo 6
Para
a série vira
Como
e
é convergente (
), essa convergência é absoluta.
Passo 7
Para
temos
Como
converge (por comparação com
), a convergência também é absoluta.
Resposta
O raio de convergência é
, e o intervalo de convergência é
.