Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{2+(n-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em 0:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{2+(n-1)^{2}}.
O conteúdo usado será o teste da raiz (ou razão) para séries de potências e, em seguida, o estudo da convergência nos pontos x=\pm1.

Passo 2

Façamos a mudança de índice m = n-1. A série passa a ser
\sum_{m=0}^{\infty} a_m\,x^m,
com
a_m = \frac{1}{2 + m^2}.

Passo 3

Para determinar o raio de convergência R, aplicamos o teste da raiz, que diz
\frac1R = \limsup_{m\to\infty} \bigl|a_m\bigr|^{1/m}.

Passo 4

Como
a_m = \frac1{2 + m^2}\sim \frac1{m^2} \quad\Longrightarrow\quad \bigl|a_m\bigr|^{1/m} = \bigl((2+m^2)^{-1}\bigr)^{1/m} \longrightarrow 1 \quad(m\to\infty),
segue que
\limsup_{m\to\infty} \bigl|a_m\bigr|^{1/m} = 1 \quad\Longrightarrow\quad R = 1.

Passo 5

Agora testamos os extremos \lvert x\rvert =1.

Passo 6

Para x=1 a série vira
\sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{2 + m^2}.
Como \frac1{2+m^2}\le \frac1{m^2} e \sum 1/m^2 é convergente ( p=2>1), essa convergência é absoluta.

Passo 7

Para x=-1 temos
\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{2 + m^2}.
Como \sum_{m=0}^\infty \bigl|\frac{(-1)^m}{2+m^2}\bigr|=\sum 1/(2+m^2) converge (por comparação com \sum1/m^2), a convergência também é absoluta.

Resposta

O raio de convergência é R=1, e o intervalo de convergência é [ -1,\,1 ].

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