Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo: \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n-1}}{n}
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n}.
Vamos tratar isso como uma série \sum_{k=0}^\infty c_k x^k e aplicar o teste da razão para encontrar o raio R, depois analisar o que acontece em x=R e x=-R.
Passo 2
Reindexando com k=n-1, temos
c_k = \frac{(-1)^k}{k+1},
e a série fica \sum_{k=0}^\infty c_k x^k. Pelo teste da razão:
L = \lim_{k\to\infty} \left|\frac{c_{k+1}}{c_k}\right| = \lim_{k\to\infty} \frac{\tfrac{1}{k+2}}{\tfrac{1}{k+1}} = 1.
Como L=1, o raio de convergência é
R = 1.
Passo 3
Em x=1, a série torna-se
\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1},
que é a série harmônica alternada (série de Leibniz) e converge.