Verifique a aproximação
\sqrt[3]{1+x} \approx 1+\frac{x}{3}
em torno de x=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a aproximação da função
f(x)=\sqrt[3]{1+x}
por um polinômio de primeiro grau em torno de x=0. Vamos usar a expansão de Taylor de ordem 1 (linearização) de f em x_0=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
f(x) = (1+x)^{1/3},
usamos a regra do expoente:
f'(x) = \frac{1}{3}(1+x)^{\tfrac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}(1+x)^{-2/3}.

Passo 3

Avaliamos f e f' em x=0:
f(0) = (1+0)^{1/3} = 1, \qquad f'(0) = \frac{1}{3}(1+0)^{-2/3} = \frac{1}{3}.
A linearização de f em torno de 0 é
L(x) = f(0) + f'(0)\,x = 1 + \frac{x}{3}.

Resposta

\sqrt[3]{1+x} \approx 1 + \frac{x}{3}
em torno de x=0.

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