Considere f(x)=x sen(1x) e g(x)=1x+a, a in R^* Então lim x 0 g(f(x))=

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas funções:
  • , onde é um número real diferente de zero.
Queremos encontrar o limite de quando se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites, propriedades das funções trigonométricas e composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Sabemos que o seno de qualquer número está entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados da desigualdade por -1 <= sen(1x) <= 1 , temos:
Ou seja:
- x <= x cdot sen(1x) <= x

Passo 3

Agora, vamos considerar o limite de limx to 0 -x = 0 e limx to 0 x = 0 quando limx to 0 f(x) = 0 tende a 0. Sabemos que:
Pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), se está sempre entre e , e ambos os limites laterais são 0, então:

Passo 4

Agora que sabemos que limx to 0 g(f(x)) = limx to 0 1f(x) + a = 10 + a = 1a , podemos calcular o limite de . Substituindo o limite encontrado na função :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados