Considere
e
Então
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas funções:
-
, onde é um número real diferente de zero.
Queremos encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites, propriedades das funções trigonométricas e composição de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função . Sabemos que o seno de qualquer número está entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados da desigualdade por
, temos:
Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos considerar o limite de
quando
tende a 0. Sabemos que:
Pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), se
está sempre entre
e
, e ambos os limites laterais são 0, então:
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos calcular o limite de
. Substituindo o limite encontrado na função
:
Resposta
O limite é
.