Considere V o volume do sólido S pela rotação em torno do eixo y da região delimitada por y=raizx e y=x^2.
a) Encontre o volume do sólido S utilizando o método do fatiamento (método da seção transversal).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido formado pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método do fatiamento, que envolve dividir o sólido em fatias fininhas e calcular o volume de cada uma delas. Vamos precisar entender onde as duas curvas se encontram e como expressar em função de para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se interceptam. Isso acontece quando raizx = x^2 . Vamos resolver essa equação:
x = x^4
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^4 - x = 0 implies x(x^3 - 1) = 0
Rearranjando os termos:
Então, as soluções são e . Portanto, as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos expressar x = y^2 em função de x = raizy para ambas as curvas, já que vamos girar em torno do eixo .
Para :
Para :

Passo 4

No método do fatiamento, especialmente usando discos ou anéis (lavadoras), precisamos determinar o raio externo e o raio interno de cada fatia.
  • Raio externo ( R(y) = raizy ): é a distância do eixo de rotação até a curva mais distante, que nesse caso é r(y) = y^2 .
  • Raio interno ( ): é a distância do eixo de rotação até a curva mais próxima, que é .

Passo 5

A área da seção transversal de cada fatia é a diferença entre as áreas dos discos externo e interno:
A(y) = pi [R(y)]^2 - pi [r(y)]^2 = pi (raizy)^2 - pi (y^2)^2 = pi (y) - pi (y^4)
Simplificando:
A(y) = pi y - pi y^4
Para encontrar o volume total, integramos essa área de V = integral0^1 (pi y - pi y^4) , dy a :

Passo 6

Vamos calcular a integral:
V = pi integral0^1 y , dy - pi integral0^1 y^4 , dy
Calculando cada parte:
pi integral0^1 y , dy = pi [ y^22 ]0^1 = pi ( 12 - 0 ) = pi2
pi integral0^1 y^4 , dy = pi [ y^55 ]0^1 = pi ( 15 - 0 ) = pi5
Subtraindo as duas partes:
V = pi2 - pi5 = pi ( 510 - 210 ) = pi ( 310 ) = 3pi10

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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