Considere
o volume do sólido
pela rotação em torno do eixo
da região delimitada por
e
.
a) Encontre o volume do sólido
utilizando o método do fatiamento (método da seção transversal).
a) Encontre o volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido formado pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método do fatiamento, que envolve dividir o sólido em fatias fininhas e calcular o volume de cada uma delas. Vamos precisar entender onde as duas curvas se encontram e como expressar
em função de
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se interceptam. Isso acontece quando
. Vamos resolver essa equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando os termos:
Então, as soluções são
e
. Portanto, as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos expressar
em função de
para ambas as curvas, já que vamos girar em torno do eixo
.
Para
:
Para
:
Passo 4
No método do fatiamento, especialmente usando discos ou anéis (lavadoras), precisamos determinar o raio externo e o raio interno de cada fatia.
-
Raio externo (
): é a distância do eixo de rotação até a curva mais distante, que nesse caso é . -
Raio interno (
): é a distância do eixo de rotação até a curva mais próxima, que é .
Passo 5
A área da seção transversal de cada fatia é a diferença entre as áreas dos discos externo e interno:
Simplificando:
Para encontrar o volume total, integramos essa área de
a
:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Subtraindo as duas partes:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.