Considere f(x)=x sen(1x) e g(x)=1x+a, a in R^*
e lim x 0 f(x) cdot g(x)=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0, onde e , com sendo um número real diferente de zero. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre limites e propriedades das funções trigonométricas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o limite que queremos calcular:
limx to 0 f(x) cdot g(x) = limx to 0 ( x cdot sin(1x) cdot 1x + a )
Isso pode ser simplificado para:
limx to 0 x cdot sin(1x)x + a

Passo 3

Agora, vamos analisar os componentes dessa expressão. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
-1 <= sin(1x) <= 1
Multiplicando tudo por -,|x| <= x cdot sin(1x) <= |x| , que está se aproximando de 0, temos:
Isso significa que está limitado por e , que ambos tendem a 0 quando se aproxima de 0.

Passo 4

Agora, vamos considerar o denominador limx to 0 (x + a) = a . Como limx to 0 x cdot sin(1x)x + a = 0a = 0 é diferente de zero, quando se aproxima de 0, se aproxima de . Ou seja:
Então, podemos pensar na expressão inteira como algo que tende a 0 dividido por algo que tende a :

Resposta

O limite é igual a 0.

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