Considere
e
e
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0, onde
e
, com
sendo um número real diferente de zero. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre limites e propriedades das funções trigonométricas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o limite que queremos calcular:
Isso pode ser simplificado para:
Passo 3
Agora, vamos analisar os componentes dessa expressão. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
Multiplicando tudo por
, que está se aproximando de 0, temos:
Isso significa que
está limitado por
e
, que ambos tendem a 0 quando
se aproxima de 0.
Passo 4
Agora, vamos considerar o denominador
. Como
é diferente de zero, quando
se aproxima de 0,
se aproxima de
. Ou seja:
Então, podemos pensar na expressão inteira como algo que tende a 0 dividido por algo que tende a
:
Resposta
O limite é igual a 0.