Determine um equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva C em torno do eixo especificado, esboce e identifique a superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar a equação da superfície gerada quando a curva $ C $ é rodada em torno de um eixo específico. Além disso, precisamos esboçar e identificar de que superfície estamos falando. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies de revolução. Vamos precisar entender como rotacionar uma curva em torno de um eixo e como isso altera sua equação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a curva $ C $. Ela é definida pelas equações:
Isso significa que a curva está no plano $ y = 3 $ e a relação entre $ z $ e $ x $ é dada pela equação $ (z-2)^2 = -4(x-1) $.
Passo 3
Vamos simplificar a equação $ (z-2)^2 = -4(x-1) $ para entender qual é a curva no plano $ y = 3 $. Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de uma parábola que abre para o lado negativo do eixo $ x $.
Passo 4
Agora, precisamos identificar o eixo em torno do qual vamos rotacionar a curva $ C $. O enunciado menciona $ y = 3 $ e $ z = 2 $. Isso sugere que o eixo de rotação está passando por $ y = 3 $ e $ z = 2 $, ou seja, é uma linha paralela ao eixo $ x $ deslocada para $ y = 3 $ e $ z = 2 $.
Passo 5
Para rotacionar a curva $ C $ em torno desse eixo, vamos considerar uma mudança de coordenadas que centralize o eixo de rotação na origem. Vamos definir:
Com isso, a equação da curva $ C $ fica:
Agora, o eixo de rotação está alinhado com o eixo $ x $ na nova coordenada.
Passo 6
A superfície de revolução gerada pela rotação da curva $ (z’)^2 = -4(x - 1) $ em torno do eixo $ x $ é um paraboloide de revolução. A equação geral de um paraboloide de revolução é:
Voltando às coordenadas originais ($ y $ e $ z $):
Resposta
A equação da superfície de revolução é
Essa superfície é um paraboloide de revolução aberto para o lado negativo do eixo $ x $.