Seja
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sin \left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), \quad(x, y) \neq(0,0)
e f(0,0)=0. Determine se f é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\sin\bigl(\tfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\bigr),& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em (0,0). O tema aqui é continuidade de função de duas variáveis no ponto de origem, usando noções de limite e o “teorema do confronto” (squeeze theorem).

Passo 2

Para estudar o comportamento de f quando (x,y)\to(0,0), introduzimos coordenadas polares:
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \theta=\arctan\bigl(\tfrac yx\bigr).
Então, para r>0,
f(x,y)=r\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{r^{2}}\bigr).

Passo 3

Como sabemos que \bigl|\sin(t)\bigr|\le1 para todo t\in\mathbb{R}, temos
\bigl|f(x,y)\bigr| =\bigl|r\sin\!\bigl(\tfrac{1}{r^{2}}\bigr)\bigr| \le r.
Logo, ao fazermos (x,y)\to(0,0), isto é, r\to0, obtemos
0\le \bigl|f(x,y)-0\bigr|\le r\;\xrightarrow[r\to0]{}\;0.
Pelo “teorema do confronto”, \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 4

Como f(0,0)=0 e o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) também é 0, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0),
portanto f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em (0,0).

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