e pede para verificar se f é contínua em (0,0). O tema aqui é continuidade de função de duas variáveis no ponto de origem, usando noções de limite e o “teorema do confronto” (squeeze theorem).
Passo 2
Para estudar o comportamento de f quando (x,y)\to(0,0), introduzimos coordenadas polares:
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \theta=\arctan\bigl(\tfrac yx\bigr).
Então, para r>0,
f(x,y)=r\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{r^{2}}\bigr).
Passo 3
Como sabemos que \bigl|\sin(t)\bigr|\le1 para todo t\in\mathbb{R}, temos
\bigl|f(x,y)\bigr| =\bigl|r\sin\!\bigl(\tfrac{1}{r^{2}}\bigr)\bigr| \le r.
Logo, ao fazermos (x,y)\to(0,0), isto é, r\to0, obtemos