A função
E\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=-\sum_{k=1}^{n} x_{k} \ln x_{k}
com \sum x_{k}=1 e x_{k}>0, assume máximo. Determine o ponto onde isso ocorre.

Passo 1

O enunciado dá a função
E\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right) = -\sum_{k=1}^{n} x_{k}\ln x_{k}
com as restrições \sum_{k=1}^{n} x_{k}=1 e x_{k}>0 para todo k.
A pergunta é: determinar o ponto \left(x_{1},\ldots,x_{n}\right) em que E atinge o seu máximo sujeito a essas restrições.

Passo 2

Método escolhido: multiplicadores de Lagrange.
Por que esse método? Porque temos uma função de várias variáveis sujeita a uma restrição de igualdade simples \sum_{k=1}^{n} x_{k}=1. O método de Lagrange transforma o problema com restrição num problema sem restrição, através de um multiplicador \lambda, e nos dá condições que qualquer ponto extremo deve satisfazer. É um método padrão e direto para este tipo de questão.

Passo 3

Construímos a função de Lagrange \mathcal{L} introduzindo o multiplicador \lambda para a restrição:
\mathcal{L}(x_{1},\ldots,x_{n},\lambda)=E(x_{1},\ldots,x_{n})+\lambda\Big(\sum_{k=1}^{n}x_{k}-1\Big).
A condição de extremo (estacionaridade) exige que as derivadas parciais de \mathcal{L} em relação a cada x_{k} e em relação a \lambda sejam zero:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{k}}=0\quad (k=1,\ldots,n),\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=0.

Passo 4

Calculamos \frac{\partial E}{\partial x_{k}}. Primeiro note que, para uma variável x,
\frac{d}{dx}\big(x\ln x\big)=\ln x + 1,
logo, como E tem um sinal negativo,
\frac{\partial E}{\partial x_{k}}=-\big(\ln x_{k}+1\big).
Portanto
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{k}}=-\big(\ln x_{k}+1\big)+\lambda.
Impondo \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{k}}=0 obtemos, para cada k,
-\big(\ln x_{k}+1\big)+\lambda=0.
Isto implica
\ln x_{k}=\lambda-1\quad\text{para todo }k.

Passo 5

Da igualdade \ln x_{k}=\lambda-1 concluímos que todos os \ln x_{k} são iguais, logo todos os x_{k} são iguais. Escrevamos
x_{k}=c\quad\text{para todo }k,
onde c é uma constante positiva. Usando a restrição \sum_{k=1}^{n}x_{k}=1,
\sum_{k=1}^{n} c = n c = 1 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{n}.
Portanto o candidato crítico é
x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=\frac{1}{n}.

Passo 6

Precisamos justificar que esse ponto é de fato o máximo (e único). Para isto usamos concavidade. Considere a função de uma variável
\varphi(x) = -x\ln x,\qquad x>0.
Calculando a derivada segunda:
\varphi''(x) = -\frac{1}{x}<0\quad\text{para }x>0.
Assim \varphi é estritamente côncava em (0,\infty). Como E é soma de funções \varphi(x_{k}),
E(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum_{k=1}^{n}\varphi(x_{k}),
seguimos que E é estritamente côncava no domínio dado ( x_{k}>0). Para problemas de otimização, uma função estritamente côncava sujeita a um conjunto convexo de restrições lineares tem um único máximo global; qualquer ponto estacionário é esse máximo global. Portanto o ponto encontrado é o máximo único.

Passo 7

Comentário prático e intuição: a função E é a chamada entropia de Shannon (até uma constante), e o fato de o máximo ocorrer quando as probabilidades x_{k} são todas iguais \frac{1}{n} tem sentido físico/intuitivo: a distribuição que maximiza incerteza/entropia é a distribuição uniforme. Se quiser verificar numericamente o valor máximo, basta avaliar
E\Big(\tfrac{1}{n},\ldots,\tfrac{1}{n}\Big)=-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\ln\frac{1}{n}=-\ln\frac{1}{n}=\ln n.

Resposta

x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=\frac{1}{n}

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