A função
com
e
, assume máximo. Determine o ponto onde isso ocorre.
Passo 1
O enunciado dá a função
com as restrições
e
para todo
.
A pergunta é: determinar o ponto em que
atinge o seu máximo sujeito a essas restrições.
A pergunta é: determinar o ponto
Passo 2
Método escolhido: multiplicadores de Lagrange.
Por que esse método? Porque temos uma função de várias variáveis sujeita a uma restrição de igualdade simples . O método de Lagrange transforma o problema com restrição num problema sem restrição, através de um multiplicador
, e nos dá condições que qualquer ponto extremo deve satisfazer. É um método padrão e direto para este tipo de questão.
Por que esse método? Porque temos uma função de várias variáveis sujeita a uma restrição de igualdade simples
Passo 3
Construímos a função de Lagrange
introduzindo o multiplicador
para a restrição:
A condição de extremo (estacionaridade) exige que as derivadas parciais de
em relação a cada
e em relação a
sejam zero:
Passo 4
Calculamos
. Primeiro note que, para uma variável
,
logo, como
tem um sinal negativo,
Portanto
Impondo
obtemos, para cada
,
Isto implica
Passo 5
Da igualdade
concluímos que todos os
são iguais, logo todos os
são iguais. Escrevamos
onde
é uma constante positiva. Usando a restrição
,
Portanto o candidato crítico é
Passo 6
Precisamos justificar que esse ponto é de fato o máximo (e único). Para isto usamos concavidade. Considere a função de uma variável
Calculando a derivada segunda:
Assim
é estritamente côncava em
. Como
é soma de funções
,
seguimos que
é estritamente côncava no domínio dado (
). Para problemas de otimização, uma função estritamente côncava sujeita a um conjunto convexo de restrições lineares tem um único máximo global; qualquer ponto estacionário é esse máximo global. Portanto o ponto encontrado é o máximo único.
Passo 7
Comentário prático e intuição: a função
é a chamada entropia de Shannon (até uma constante), e o fato de o máximo ocorrer quando as probabilidades
são todas iguais
tem sentido físico/intuitivo: a distribuição que maximiza incerteza/entropia é a distribuição uniforme. Se quiser verificar numericamente o valor máximo, basta avaliar