Considere f(x, y)=lll(x^2+y^2) sen(1raizx^2+y^2) & se & (x, y) neq(0,0), 0 & se & (x, y)=(0,0)
(a) Mostre que f é diferenciável em (0,0).
(b) As derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y são contínuas em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= (x^2+y^2)senl(tfrac1raizx^2+y^2r),&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede (a) mostrar que f é diferenciável em (0,0) e (b) verificar se as derivadas parciais são contínuas em (0,0). Para (a) usaremos a definição de diferenciabilidade via aproximação linear e para (b) vamos calcular as parciais no origem por definição e fora dela por regra da cadeia, examinando seu comportamento quando (x,y)to(0,0).

Passo 2

Para provar a diferenciabilidade em (0,0), proponho o mapa linear candidato
L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0
Devemos então mostrar que
f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =f(x,y)rto0 quando r=raizx^2+y^2to0

Passo 3

Para (x,y)neq(0,0) temos
|f(x,y)|r =l|r^2sen(1/r)r|r =r,l|sen(1/r)r| <= r
Como rto0 faz rto0, segue que f(x,y)rto0.

Passo 4

Portanto o erro f(x,y)-L(x,y)=f(x,y) é o(r) e isso prova que f é diferenciável em (0,0), com gradiente
nabla f(0,0)=(0,0)

Passo 5

Agora calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^2sen(1/|h|)h =limhto0h,sen(1/|h|)=0
De modo análogo,
fy(0,0)=0.

Passo 6

Para (x,y)neq(0,0) use-se r=raizx^2+y^2 e a regra da cadeia em
;f=r^2sen(1/r). Assim
fx(x,y) =2x,senl(1/rr) +r^2cosl(1/rr),ddxl(1/rr) =2x,senl(1/rr)-xrcosl(1/rr)
De modo análogo,
fy(x,y)=2y,senl(1/rr)-yrcosl(1/rr)

Passo 7

Para testar a continuidade de fx em (0,0), siga a reta y=0. Então r=|x| e
fx(x,0) =2x,senl(1/|x|r)-cosl(1/|x|r)
O termo 2xsen(1/|x|)to0 quando xto0, mas cos(1/|x|) oscila entre -1 e 1 sem limite. Logo fx(x,y) não converge para fx(0,0)=0. O mesmo vale para fy.

Resposta

(a) f é diferenciável em (0,0) e nabla f(0,0)=(0,0).
(b) As derivadas parciais existem mas não são contínuas em (0,0).

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