e pede (a) mostrar que f é diferenciável em (0,0) e (b) verificar se as derivadas parciais são contínuas em (0,0). Para (a) usaremos a definição de diferenciabilidade via aproximação linear e para (b) vamos calcular as parciais no origem por definição e fora dela por regra da cadeia, examinando seu comportamento quando (x,y)to(0,0).
Passo 2
Para provar a diferenciabilidade em (0,0), proponho o mapa linear candidato
L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0
Devemos então mostrar que
f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =f(x,y)rto0 quando r=raizx^2+y^2to0
Passo 3
Para (x,y)neq(0,0) temos
|f(x,y)|r =l|r^2sen(1/r)r|r =r,l|sen(1/r)r| <= r
Como rto0 faz rto0, segue que f(x,y)rto0.
Passo 4
Portanto o erro f(x,y)-L(x,y)=f(x,y) é o(r) e isso prova que f é diferenciável em (0,0), com gradiente
nabla f(0,0)=(0,0)
Passo 5
Agora calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição: