Resolva o problema
aplicando a transformada de Fourier.
Passo 1
O enunciado dá a equação do calor em
com condição inicial
Vamos usar a transformada de Fourier em .
Passo 2
Definindo
aplicamos a transformada em
x à PDE. Como
obtém-se
isto é, a ODE
A solução geral é
onde
hat f(xi)=hat u(xi,0) .
Passo 3
Calculamos a transformada de
f :
Logo
Passo 4
Para voltar ao domínio físico, fazemos a transformada inversa:
Reconhece-se que isso é a convolução de
f com o núcleo gaussiano
ou seja
Passo 5
Podemos expressar essa integral em termos da função erro . Usando
onde , obtemos