Resolva o problema
l k partial^2 upartial x^2=partial upartial t, x in R, t>0 u(x, 0)=f(x)=lll 1, & se & |x| <= 1 0, & se & |x|>1
aplicando a transformada de Fourier.

Passo 1

O enunciado dá a equação do calor em
com condição inicial
Vamos usar a transformada de Fourier em .

Passo 2

Definindo
hat u(xi,t)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-ixi x,dx,
aplicamos a transformada em x à PDE. Como
Fl(tfracpartial^2upartial x^2r)=-xi^2hat u,
obtém-se
k(-xi^2),hat u(xi,t)=partial hat upartial t(xi,t),
isto é, a ODE
partial hat upartial t=-k,xi^2,hat u
A solução geral é
hat u(xi,t)=hat f(xi),e^-kxi^2t,
onde hat f(xi)=hat u(xi,0).

Passo 3

Calculamos a transformada de f:
hat f(xi)=integral-1^1e^-ixi x,dx =l[e^-ixi x-ixir]-1^1 =2,sinxixi
Logo
hat u(xi,t) =2,sinxixi,e^-kxi^2t

Passo 4

Para voltar ao domínio físico, fazemos a transformada inversa:
u(x,t) =12piintegral-infty^inftyhat u(xi,t),e^ixi x,dxi =12piintegral-infty^infty 2,sinxixie^-kxi^2te^ixi xdxi
Reconhece-se que isso é a convolução de f com o núcleo gaussiano
G(x,t)=1raiz4pi k t exp!l(-x^24ktr),
ou seja
u(x,t)=integral-infty^inftyG(x-y,t),f(y),dy =integral-1^11raiz4pi k t exp!l(-(x-y)^24ktr)dy

Passo 5

Podemos expressar essa integral em termos da função erro . Usando
onde , obtemos

Resposta

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