29-30 Use os resultados dos Exercícios 27 e 28, se necessário, para determinar se as séries convergem ou divergem.
29. (a) sumk=1^infty[(23)^k-1+1k]

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumk=1^inftyl[(2/3)^k-1+1/kr]. Vamos usar conceitos de séries geométrica e harmônica.

Passo 2

Separei a série em duas partes: sumk=1^infty(2/3)^k-1 e sumk=1^infty1/k. A soma geral diverge se ao menos uma das parcelas divergir.
A série geométrica sumk=1^infty(2/3)^k-1 converge porque é do tipo sum r^k-1 com |r|=2/3<1.
A série harmônica sumk=1^infty1/k é uma série clássica que diverge, pois cresce sem limite (por exemplo, comparando com integral1^n1/x,dx).

Passo 3

Como a parte harmônica diverge, a soma das duas não pode convergir. Portanto, a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados