Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) calcule partial zpartial t, partial zpartial s :
z=e^yx, x=2 s cos (t), y=4 s sen(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que envolve derivadas parciais usando a regra da cadeia. A gente tem uma função $ z = e^{\frac{y}{x}} $, onde $ x $ e $ y $ também dependem de outras variáveis: $ x = 2s \cos(t) $ e $ y = 4s \sin(t) $. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ t $ e $ s $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $ e $ s $, então a derivada parcial de $ z $ em relação a $ t $ é:
z
E similarmente para $ s $:
x

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $. Para $ z = e^{\frac{y}{x}} $:
z
x

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $ e $ s $.
Para $ x = 2s \cos(t) $:
x
y
Para $ y = 4s \sin(t) $:
t
s

Passo 5

Agora, vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia.
Primeiro, para $ \frac{\partial z}{\partial t} $:
partial zpartial t
Simplificando:
partial zpartial t = ( -yx^2 e^yx ) cdot (-2s sin(t)) + ( 1x e^yx ) cdot (4s cos(t))
Para $ \frac{\partial z}{\partial s} $:
partial zpartial t = 2s yx^2 e^yx sin(t) + 4sx e^yx cos(t)
Simplificando:
partial zpartial s

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial t = 2s yx^2 e^yx sin(t) + 4sx e^yx cos(t)
partial zpartial s = -2 yx^2 e^yx cos(t) + 4 sin(t)x e^yx

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