Usando a regra da cadeia para
calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que envolve derivadas parciais usando a regra da cadeia. A gente tem uma função $ z = e^{\frac{y}{x}} $, onde $ x $ e $ y $ também dependem de outras variáveis: $ x = 2s \cos(t) $ e $ y = 4s \sin(t) $. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ t $ e $ s $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $ e $ s $, então a derivada parcial de $ z $ em relação a $ t $ é:
E similarmente para $ s $:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $. Para $ z = e^{\frac{y}{x}} $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $ e $ s $.
Para $ x = 2s \cos(t) $:
Para $ y = 4s \sin(t) $:
Passo 5
Agora, vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia.
Primeiro, para $ \frac{\partial z}{\partial t} $:
Simplificando:
Para $ \frac{\partial z}{\partial s} $:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são: