Considere f(x, y)=ln (x y^2)+arctg(x^2-y).
Calcule partial^2 fpartial y partial x(2,3).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = \ln(x y^{2}) + \arctan(x^{2} - y) $. O exercício quer que a gente calcule a segunda derivada parcial mista, ou seja, primeiro derivar em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $, avaliando isso no ponto $ (2, 3) $. Para resolver, vamos precisar conhecer derivadas parciais e como aplicar as regras de derivação para funções logarítmicas e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que chamaremos de $ f_x $.
A função é $ f(x, y) = \ln(x y^{2}) + \arctan(x^{2} - y) $.
Para derivar $ \ln(x y^{2}) $ em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia:
f
Para derivar $ \arctan(x^{2} - y) $ em relação a $ x $, usamos a derivada da arctan:
x
Então, juntando as duas partes:
fx

Passo 3

Agora, vamos derivar $ f_x $ em relação a $ y $ para obter a segunda derivada parcial mista $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} $, que chamaremos de $ f_{xy} $.
Vamos derivar cada termo de $ f_x $:
Primeiro termo:
fx
Porque $ \frac{1}{x} $ não depende de $ y $.
Segundo termo:
y
Aqui, usamos a regra do quociente. Seja $ u = 2x $ e $ v = 1 + (x^{2} - y)^{2} $.
A derivada será:
partial^2 fpartial y partial x
Calculando $ u’ $ em relação a $ y $:
fxy
(não depende de $ y $).
Calculando $ v’ $ em relação a $ y $:
fx
Então:
partialpartial y ( 1x ) = 0
Então, $ f_{xy} = \frac{4x(x^{2} - y)}{(1 + (x^{2} - y){2}){2}} $

Passo 4

Agora, vamos avaliar $ f_{xy} $ no ponto $ (2, 3) $.
Substituindo $ x = 2 $ e $ y = 3 $:
fxy
(2, 3)
x = 2
y = 3
fxy(2, 3) = 4 cdot 2 cdot (2^2 - 3)(1 + (2^2 - 3)^2)^2

Resposta

A segunda derivada parcial mista $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(2,3) $ é igual a 2.

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