Se z é uma função de x e y definida implicitamente pela equação x y z=cos (x+y+z), determine partial zpartial x no ponto (0, pi / 4, pi / 4).

Passo 1

O enunciado diz que a função z(x,y) é definida implicitamente por x y z = cos(x+y+z) e pede ∂z/∂x no ponto (0, π/4, π/4). Vamos usar derivação implícita para funções de várias variáveis.

Passo 2

Definindo a função implícita:
F(x,y,z) = x y z - cos(x+y+z)
Pela derivação implícita temos
partial Fpartial x + partial Fpartial z,partial zpartial x = 0,
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partial zpartial x = -partial F/partial xpartial F/partial z

Passo 3

Para calcular ∂F/∂x, derivamos cada termo de F em relação a x:
partial Fpartial x = partial (x y z)partial x - partial (cos(x+y+z))partial x = y z + sin(x+y+z)

Passo 4

Para calcular ∂F/∂z, derivamos cada termo de F em relação a z:
partial Fpartial z = partial (x y z)partial z - partial (cos(x+y+z))partial z = x y + sin(x+y+z)

Passo 5

No ponto (0, π/4, π/4) temos:
  • x+y+z = π/2, então sin(π/2)=1;
  • y z = π^2/16;
  • x y = 0.
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partial Fpartial x|(0,pi/4,pi/4) = pi^216 + 1, partial Fpartial z|(0,pi/4,pi/4) = 1

Passo 6

Substituindo em partial zpartial x = -partial F/partial xpartial F/partial z obtemos:
partial zpartial x|(0,pi/4,pi/4) = -pi^216 + 11 = -pi^216 - 1

Resposta

(-\frac{\pi^2}{16} - 1)

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