Suponha que z=f(x, y) é definida implicitamente como uma função de x e y pela equação x^2 / 3+2 y^2 / 3+3 z^2 / 3=1, onde x, y, e z sao números reais positivas. Usando derivação implícita, calcule partial zpartial x.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma função z = f(x, y) que está definida de forma implícita pela equação x^2 / 3 + 2 y^2 / 3 + 3 z^2 / 3 = 1. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de z em relação a x, ou seja, partial zpartial x. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para derivar funções que estão definidas de maneira indireta por uma equação envolvendo várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é tratado como uma constante quando derivamos em relação a x. Então, vamos lá:
A equação original é:
x^2 / 3 + 2 y^2 / 3 + 3 z^2 / 3 = 1
Vamos derivar termo a termo em relação a x:
  1. A derivada de x^2/3 em relação a x é:
ddx ( x^2/3 ) = 23 x^-1/3
  1. A derivada de 2 y^2/3 em relação a x é zero, porque y é constante em relação a x:
ddx ( 2 y^2/3 ) = 0
  1. A derivada de 3 z^2/3 em relação a x precisa usar a regra da cadeia, já que z é uma função de x:
ddx ( 3 z^2/3 ) = 3 cdot 23 z^-1/3 cdot partial zpartial x = 2 z^-1/3 partial zpartial x
Então, diferenciando ambos os lados, temos:
23 x^-1/3 + 0 + 2 z^-1/3 partial zpartial x = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação resultante para encontrar partial zpartial x.
A equação que obtivemos é:
23 x^-1/3 + 2 z^-1/3 partial zpartial x = 0
Vamos isolar partial zpartial x:
Primeiro, subtraímos 23 x^-1/3 de ambos os lados:
2 z^-1/3 partial zpartial x = -23 x^-1/3
Agora, dividimos ambos os lados por 2 z^-1/3:
partial zpartial x = -23 x^-1/3 div 2 z^-1/3 = -23 x^-1/3 cdot 12 z^1/3
Simplificando:
partial zpartial x = -13 cdot z^1/3x^1/3

Resposta

A derivada parcial de z em relação a x é:
partial zpartial x = -13 cdot z^1/3x^1/3

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