Suponha que
é definida implicitamente como uma função de
e
pela equação
, onde
,
, e
sao números reais positivas. Usando derivação implícita, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma função
que está definida de forma implícita pela equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para derivar funções que estão definidas de maneira indireta por uma equação envolvendo várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
. Então, vamos lá:
A equação original é:
Vamos derivar termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é:
- A derivada de
em relação a é zero, porque é constante em relação a :
- A derivada de
em relação a precisa usar a regra da cadeia, já que é uma função de :
Então, diferenciando ambos os lados, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação resultante para encontrar
.
A equação que obtivemos é:
Vamos isolar
:
Primeiro, subtraímos
de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é: