Considere f(x, y)=ln (x+2 y). Encontre a direção u na qual Du f(1,1) é a maior possível. Calcule tal derivada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a direção $ u $ onde a derivada direcional $ D_{u} f(1,1) $ é a maior possível para a função $ f(x, y) = \ln(x + 2y) $. Isso está no campo do cálculo multivariável, mais especificamente nas derivadas direcionais e no gradiente. Vamos precisar calcular o gradiente da função nesse ponto e usar ele para achar a direção que dá a maior derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é tipo um vetor que mostra a direção de maior subida da função, e ele é composto pelas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $.
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f(x, y)
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
x

Passo 3

Com as derivadas parciais em mãos, vamos calcular o gradiente no ponto $ (1,1) $.
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ nas derivadas:
(1,1)
x = 1
Então, o gradiente no ponto $ (1,1) $ é:
y = 1

Passo 4

A direção $ u $ que maximiza a derivada direcional é justamente a direção do gradiente. Mas, para que $ u $ seja uma direção válida (ou seja, um vetor unitário), precisamos normalizar o gradiente.
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
u
Agora, normalizamos o gradiente dividindo cada componente pelo módulo:
u

Resposta

A direção $ u $ que maximiza a derivada direcional $ D_{u} f(1,1) $ é $ u = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) $, e a derivada nessa direção é $ \frac{\sqrt{5}}{3} $.

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