Encontre o raio e o intervalo de convergência de cada série de potências:
sumn=1^infty (-2)^n(x+3)^nraizn

Passo 1

O enunciado pede para achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (-2)^n(x+3)^nraizn. O conteúdo é teste de convergência de série de potências usando, principalmente, o teste da raiz e, depois, a análise dos extremos do intervalo.

Passo 2

Para encontrar o raio de convergência, aplicamos o teste da raiz, que diz que devemos calcular
L = limntoinfty raiz[n]gl|(-2)^n(x+3)^nraizngr|
Como
raiz[n]|(-2)^n(x+3)^n| = 2,|x+3|
e
raiz[n]1/raizn = n^-1/(2n) to 1,
tenho
L = 2,|x+3|
A série converge se L<1, ou seja, se
2,|x+3| < 1 Longrightarrow |x+3| < tfrac12

Passo 3

Da condição |x+3|<1/2 extraímos o raio de convergência
R = tfrac12
e o centro em x=-3, então o intervalo aberto é
-3 - tfrac12 < x < -3 + tfrac12 Longrightarrow (-3.5,,-2.5)

Passo 4

Agora verificamos a convergência nos extremos:
Para x = -3.5: temos x+3 = -0.5, e o termo geral vira
(-2)^n(-0.5)^nraizn = (1)^nraizn = 1raizn,
que é uma série do tipo sum 1/raizn (p-série com p=1/2<1), portanto diverge.
Para x = -2.5: temos x+3 = 0.5, e o termo geral fica
(-2)^n(0.5)^nraizn = (-1)^nraizn,
uma série alternante com termos decrescentes em módulo e que tendem a zero. Pelo critério de Leibniz, essa converge condicionalmente.

Passo 5

Concluímos que o raio de convergência é R=tfrac12, o intervalo de convergência é
[
(-3.5,,-2.5]
(excluímos x=-3.5 e incluímos x=-2.5).

Resposta

Raio de convergência: R = 1/2.\nIntervalo de convergência: (-3.5, -2.5]

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