e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Para (x,y)neq(0,0) usaremos a regra do quociente; no ponto (0,0) usaremos a definição de derivada parcial como limite.]
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) defina
u(x,y)=x^3 - y^2, v(x,y)=x^2 + y^2,
de modo que f=u/v. A regra do quociente dá
partial fpartial x =ux,v - u,vxv^2, partial fpartial y =uy,v - u,vyv^2
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de u e v:
ux=3x^2, vx=2x, uy=-2y, vy=2y
Substituindo,
partial fpartial x =3x^2(x^2+y^2)-2x(x^3-y^2)(x^2+y^2)^2 =x^4 + y^2(3x^2+2x)(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y =-2y(x^2+y^2)-2y(x^3-y^2)(x^2+y^2)^2 =-2y,x^2(x+1)(x^2+y^2)^2
Passo 4
No ponto (0,0), pela definição de derivada parcial em x: