Considere f(x, y)=lx^3-y^2x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) 0 se (x, y)=(0,0). Determine as derivadas parciais.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^3 - y^2x^2 + y^2,& (x,y)neq(0,0),[1ex] 0,& (x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Para (x,y)neq(0,0) usaremos a regra do quociente; no ponto (0,0) usaremos a definição de derivada parcial como limite.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) defina
u(x,y)=x^3 - y^2, v(x,y)=x^2 + y^2,
de modo que f=u/v. A regra do quociente dá
partial fpartial x =ux,v - u,vxv^2, partial fpartial y =uy,v - u,vyv^2

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de u e v:
ux=3x^2, vx=2x, uy=-2y, vy=2y
Substituindo,
partial fpartial x =3x^2(x^2+y^2)-2x(x^3-y^2)(x^2+y^2)^2 =x^4 + y^2(3x^2+2x)(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y =-2y(x^2+y^2)-2y(x^3-y^2)(x^2+y^2)^2 =-2y,x^2(x+1)(x^2+y^2)^2

Passo 4

No ponto (0,0), pela definição de derivada parcial em x:
f(h,0)=h^3-0h^2+0=h,
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h-0h =1

Passo 5

Para derivada parcial em y no ponto (0,0):
f(0,h)=0 - h^20 + h^2=-1,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto0-1-0h
não existe (diverge quando hto0^pm).

Resposta

partial fpartial x(x,y)= dfracx^4 + y^2(3x^2+2x)(x^2+y^2)^2,& (x,y)neq(0,0),[1ex] 1,&(x,y)=(0,0),
partial fpartial y(x,y)= dfrac-2y,x^2(x+1)(x^2+y^2)^2,& (x,y)neq(0,0),[1ex] não existe,&(x,y)=(0,0) ã]

Exercícios relacionados