(4,0) Resolvam as seguintes equações ordinárias por separação de variáveis: Observação: Os itens a) e b) valem 0,5 e os demais itens 1,0 ponto.
y y^prime=2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária por separação de variáveis:
y,y' = 2x
Aqui usamos que y'=dfracdydx e o método de separar em um lado apenas termos com y e no outro só com x.

Passo 2

Reescrevendo y' e separando variáveis, temos
y,dydx = 2x Longrightarrow y,dy = 2x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral 2x,dx Longrightarrow y^22 = x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicando por 2 e renomeando a constante, obtemos
y^2 = 2x^2 + C1,
ou seja,
y = pmraiz2x^2 + C1,
onde C1 é constante arbitrária.

Resposta

y^2 = 2x^2 + C1 Long<=ftrightarrow y = pmraiz2x^2 + C1

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