Seja
e seja
um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Prove que:
onde
é a fronteira de
com normal exterior
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o volume de um compacto B pode ser expresso em termos de um fluxo de
pela fronteira
. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que relaciona um integral de superfície ao integral de divergência no interior.
Passo 2
Aplicamos o Teorema da Divergência. Para um campo vetorial
suave em um compacto
com fronteira
orientada pela normal externa
, vale:
Passo 3
Calculamos a divergência de
. Como
substituímos no teorema.
Passo 4
Substituindo no Teorema da Divergência obtemos
Passo 5
Isolando
, divide-se ambos os lados por 3, resultando na fórmula desejada.