Seja F=x i+y j+z k e seja B um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Prove que:
vol B=13 integral duplasigma F cdot n d S
onde sigma é a fronteira de B com normal exterior n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o volume de um compacto B pode ser expresso em termos de um fluxo de vec F=xhat i+yhat j+zhat k pela fronteira sigma. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que relaciona um integral de superfície ao integral de divergência no interior.

Passo 2

Aplicamos o Teorema da Divergência. Para um campo vetorial vec F suave em um compacto B com fronteira sigma orientada pela normal externa vec n, vale:
integral duplasigma vec Fcdot vec n,dS = integral triplaB nablacdotvec F,dV

Passo 3

Calculamos a divergência de vec F. Como
nablacdot vec F = partialpartial x(x) + partialpartial y(y) + partialpartial z(z) = 1+1+1 = 3,
substituímos no teorema.

Passo 4

Substituindo no Teorema da Divergência obtemos
integral duplasigma vec Fcdot vec n,dS = integral triplaB 3,dV = 3,vol,B

Passo 5

Isolando vol,B, divide-se ambos os lados por 3, resultando na fórmula desejada.

Resposta

vol,B = 13 integral duplasigma vec Fcdot vec n,dS

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