Determine a forma polar das seguintes equações cartesianas:
x^2+(y+3)^2=9

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação no sistema cartesiano: . Nosso objetivo é converter essa equação para a forma polar. Para isso, vamos usar o conteúdo de coordenadas polares e transformação de equações cartesianas para polares. Precisaremos lembrar que, no sistema polar, as coordenadas e são expressas em termos de (a distância até a origem) e (o ângulo com o eixo positivo ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as relações entre as coordenadas cartesianas x = r cos(theta) e as coordenadas polares y = r sin(theta) . Elas são dadas por:
Essas fórmulas nos permitem substituir e na equação original.

Passo 3

Agora, vamos substituir (r cos(theta))^2 + (r sin(theta) + 3)^2 = 9 e na equação usando as relações que acabamos de lembrar:

Passo 4

Vamos expandir a equação para simplificar:
r^2 cos^2(theta) + (r sin(theta) + 3)^2 = 9
r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) + 6 r sin(theta) + 9 = 9
Agora, percebemos que r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) + 6 r sin(theta) + 9 = 9 pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica r^2 cdot 1 + 6 r sin(theta) + 9 = 9 :
r^2 + 6 r sin(theta) + 9 = 9

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
r^2 + 6 r sin(theta) + 9 - 9 = 0
r^2 + 6 r sin(theta) = 0
Podemos fatorar r (r + 6 sin(theta)) = 0 :
r = 6 sin(theta)
Isso nos dá duas soluções possíveis:
  1. (que é apenas o ponto na origem, mas como nosso círculo tem raio 3 e está deslocado, essa solução não é válida para todos os pontos do círculo).
No entanto, como representa uma distância e deve ser positivo, podemos ajustar o sinal:

Resposta

A forma polar da equação r = 6 sin(theta) é:

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