Considere f(x, y)=raiz4 x^2+9 y^2.
(a) Calcule f(1,0) e f(0,-1).
(b) Calcule lim (x, y) (-1,2) f(x, y).
(c) Determine o domínio de f.
(d) Determine a imagem de f.
(e) Esboce as curvas de nível para z=0, z=1, z=2 e z=3.
(f) Esboce o gráfico de f(x, y).

Passo 1

O enunciado define a função !f:R^2toR por
f(x,y)=raiz4x^2+9y^2
Vamos calcular valores em pontos específicos ((a)), estudar limite ((b)), obter domínio ((c)) e imagem ((d)), depois esboçar as curvas de nível para z=0,1,2,3 ((e)) e finalmente descrever o gráfico em R^3 ((f)).

Passo 2

(a) Para (1,0) temos
f(1,0)=raiz4cdot1^2+9cdot0^2=raiz4=2
Para (0,-1) temos
f(0,-1)=raiz4cdot0^2+9cdot(-1)^2=raiz9=3

Passo 3

(b) A função f é contínua em toda R^2 pois é composição de soma, produto e raiz quadrada (definida sempre que o argumento é >=0). Logo
lim(x,y)to(-1,2)f(x,y)=f(-1,2)=raiz4cdot(-1)^2+9cdot2^2=raiz4+36=raiz40=2raiz10

Passo 4

(c) O domínio são todos (x,y) tais que o radicando 4x^2+9y^2>=0. Como 4x^2+9y^2 é não-negativo para todo (x,y)inR^2, temos
Dom(f)=R^2

Passo 5

(d) A imagem de f é o conjunto dos valores raiz4x^2+9y^2. Como 4x^2+9y^2 varia de 0 até +infty, a imagem é
Im(f)=[0,+infty)

Passo 6

(e) As curvas de nível são dadas por
raiz4x^2+9y^2=z ;Long<=ftrightarrow; 4x^2+9y^2=z^2
Para cada z>=0 isso é uma elipse centrada na origem com semi-eixos a=tfracz2 em x e b=tfracz3 em y.
bul<=t z=0: ponto (0,0).
bul<=t z=1: elipse 4x^2+9y^2=1 com interceptos pmtfrac12 em x e pmtfrac13 em y.
bul<=t z=2: elipse 4x^2+9y^2=4 com interceptos pm1 e pmtfrac23.
bul<=t z=3: elipse 4x^2+9y^2=9 com interceptos pmtfrac32 e pm1.

Passo 7

(f) O gráfico de f em R^3 é a superfície
z=raiz4x^2+9y^2,
que corresponde a um cone duplo elíptico voltado para z>=0 (como a raiz dá >=0), com “abertura” diferente em x e y. É um cone elíptico cujo traço no plano y=0 é a reta z=2|x| e no plano x=0 é a reta z=3|y|.

Resposta

(a) f(1,0)=2; f(0,-1)=3.
(b) lim(x,y)to(-1,2)f(x,y)=2raiz10
(c) Dom(f)=R^2
(d) Im(f)=[0,+infty)
(e) Curvas de nível 4x^2+9y^2=z^2:
z=0 ponto (0,0),
z=1 elipse com semi-eixos tfrac12,tfrac13,
z=2 elipse com semi-eixos 1,tfrac23,
z=3 elipse com semi-eixos tfrac32,1.
(f) Superfície z=raiz4x^2+9y^2, um cone elíptico aberto para z>=0.

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