Considere
.
(a) Calcule
e
.
(b) Calcule
.
(c) Determine o domínio de
.
(d) Determine a imagem de
.
(e) Esboce as curvas de nível para
e
.
(f) Esboce o gráfico de
.
(a) Calcule
(b) Calcule
(c) Determine o domínio de
(d) Determine a imagem de
(e) Esboce as curvas de nível para
(f) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado define a função
por
Vamos calcular valores em pontos específicos ((a)), estudar limite ((b)), obter domínio ((c)) e imagem ((d)), depois esboçar as curvas de nível para
((e)) e finalmente descrever o gráfico em
((f)).
Passo 2
(a) Para
temos
Para
temos
Passo 3
(b) A função
é contínua em toda
pois é composição de soma, produto e raiz quadrada (definida sempre que o argumento é
). Logo
Passo 4
(c) O domínio são todos
tais que o radicando
. Como
é não-negativo para todo
, temos
Passo 5
(d) A imagem de
é o conjunto dos valores
. Como
varia de
até
, a imagem é
Passo 6
(e) As curvas de nível são dadas por
Para cada
isso é uma elipse centrada na origem com semi-eixos
em
e
em
.
: ponto
.
: elipse
com interceptos
em
e
em
.
: elipse
com interceptos
e
.
: elipse
com interceptos
e
.
Passo 7
(f) O gráfico de
em
é a superfície
que corresponde a um cone duplo elíptico voltado para
(como a raiz dá
), com “abertura” diferente em
e
. É um cone elíptico cujo traço no plano
é a reta
e no plano
é a reta
.
Resposta
(a)
;
.
(b)
(c)
(d)
(e) Curvas de nível :
ponto
,
elipse com semi-eixos
,
elipse com semi-eixos
,
elipse com semi-eixos
.
(f) Superfície , um cone elíptico aberto para
.
(b)
(c)
(d)
(e) Curvas de nível
(f) Superfície