Integral de linha integralC x^2 y d S pelo segmento da reta y=x da origem até o ponto (2,2).

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha integralC x^2 y,dS onde C é o segmento de reta de (0,0) a (2,2) sobre a reta y=x. O conteúdo aqui é integral de linha em relação ao comprimento de arco, e para resolver vamos precisar usar parametrização da curva e a fórmula que diz
integralC f(x,y),dS = integrala^b fl(x(t),y(t)r),| r'(t)|,dt

Passo 2

Primeiro, parametrize o segmento: basta tomar
x(t)=t, y(t)=t, 0<= t<= 2
Então o vetor posição é r(t)=(t,t) e sua derivada é r'(t)=(1,1).

Passo 3

Agora, calcule o diferencial de arco: a norma de r'(t) é
| r'(t)| = raiz1^2+1^2 = raiz2
Em seguida, substituímos na integral: x^2y = t^2cdot t = t^3 e dS=| r'(t)|,dt=raiz2,dt.

Passo 4

A integral vira
integral0^2 t^3,raiz2,dt = raiz2 integral0^2 t^3,dt
Extraindo raiz2, integramos:
integral0^2 t^3,dt = l[t^44r]0^2 = 2^44 = 4

Resposta

4\sqrt{2}

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