Considere f(x, y)=1-x y cos (pi x).
Calcule o gradiente de f no ponto (1,1).

Passo 1

Beleza, temos um exercício de cálculo envolvendo gradiente! A função que vamos analisar é $ f(x, y) = 1 - x y \cos(\pi x) $. Nosso objetivo é calcular o gradiente dessa função no ponto $ (1, 1) $. Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, como $ f(x, y) $, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
f(x, y)

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Mantemos $ y $ constante ao derivar em relação a $ x $:
f
Simplificando:
x

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que é $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Mantemos $ x $ constante ao derivar em relação a $ y $:
f

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, vamos avaliá-las no ponto $ (1, 1) $:
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em $ (1, 1) $:
(1, 1)
Sabemos que $ \cos(\pi) = -1 $ e $ \sin(\pi) = 0 $, então:
partial fpartial x
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em $ (1, 1) $:
(1, 1)

Resposta

O gradiente de $ f $ no ponto $ (1, 1) $ é:
f

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