Verificar quais das seguintes curvas são suaves:
gamma(t)=t^3 i+t^2 j, t in[12, 1]

Passo 1

Temos a curva gamma(t)=t^3vec i + t^2vec j definida para tin[1/2,1]. Para ser suave, precisamos que gamma'(t) exista, seja contínua e nunca se anule em todo o intervalo.
Calculamos a derivada da curva:
gamma'(t)=3t^2vec i +2tvec j

Passo 2

Como gamma'(t) é dado por um polinômio em t, ele existe e é contínuo em [1/2,1]. Para checar se nunca zera, avaliamos o quadrado da norma:
|gamma'(t)|^2=(3t^2)^2+(2t)^2=9t^4+4t^2=t^2(9t^2+4)

Passo 3

Para todo tin[1/2,1] temos t>0 e 9t^2+4>0, logo |gamma'(t)|^2>0 e portanto gamma'(t)neq0 em todo o intervalo.

Resposta

A curva gamma(t)=t^3vec i + t^2vec j, tin[1/2,1] é suave.

Exercícios relacionados