Utilize as fórmulas trigonométricas abaixo para calcular as primitivas das funções dadas a seguir:
sen(a) sen(b) & =12(cos (a-b)-cos (a+b)) sen(a) cos (b) & =12(sen(a-b)-sen(a+b)) cos (a) cos (b) & =12(cos (a-b)+cos (a+b))
integral sen(4 x) cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva de sin(4x)cos(2x) usando fórmulas de produto para soma. O conteúdo abordado é identidades trigonométricas e vamos precisar especialmente da fórmula de sin(a)cos(b).

Passo 2

A identidade de produto para sin(a)cos(b) é dada por
sin(a)cos(b)=tfrac12l[sin(a+b)+sin(a-b)r]
Essa fórmula transforma o produto de seno e cosseno em soma de senos.

Passo 3

Aplicando a identidade com a=4x e b=2x obtemos
sin(4x)cos(2x)=tfrac12l[sin(4x+2x)+sin(4x-2x)r]=tfrac12l[sin(6x)+sin(2x)r]

Passo 4

Agora integramos cada termo separadamente:
integralsin(4x)cos(2x),dx=tfrac12integrall[sin(6x)+sin(2x)r]dx =tfrac12l(-tfrac16cos(6x)-tfrac12cos(2x)r)+C

Passo 5

Bastou então simplificar os coeficientes para chegar à forma final da primitiva.

Resposta

-tfrac112cos(6x)-tfrac14cos(2x)+C

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