Utilize a regra da cadeia para calcular as integrais a seguir:
integral raizx ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral raizx,ln x,dx. O conteúdo principal é integração por partes (inverso da regra da cadeia) e uso da regra de potência para integrar funções do tipo x^n.

Passo 2

Escolhemos u=ln x e dv=raizx,dx = x^1/2,dx, pois assim ao derivar u simplificamos o logaritmo e ao integrar dv aplicamos a regra de potência.
Calculamos du e v: primeiro du=1x,dx. Para v usamos a regra de potência: v=integral x^1/2,dx = x^3/23/2 = 23x^3/2.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du. Assim,
integral raizx,ln x,dx = ln x cdot 23x^3/2 - integral 23x^3/2 cdot 1x,dx

Passo 4

No segundo termo, simplificamos x^3/2/x = x^1/2 e fatoramos 2/3:
integral raizx,ln x,dx = 23x^3/2ln x - 23integral x^1/2,dx

Passo 5

Para integral x^1/2,dx aplicamos novamente a regra de potência:
integral x^1/2,dx = x^3/23/2 = 23x^3/2

Passo 6

Substituindo de volta e simplificando:
integral raizx,ln x,dx = 23x^3/2ln x - 23cdot23x^3/2 + C = 23x^3/2ln x - 49x^3/2 + C

Resposta

23x^3/2ln x - 49x^3/2 + C

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