Utilize a regra da cadeia para calcular as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo principal é integração por partes (inverso da regra da cadeia) e uso da regra de potência para integrar funções do tipo
.
Passo 2
Escolhemos
e
, pois assim ao derivar
simplificamos o logaritmo e ao integrar
aplicamos a regra de potência.
Calculamos e
: primeiro
. Para
usamos a regra de potência:
.
Calculamos
Passo 3
Aplicamos a fórmula de integração por partes
. Assim,
Passo 4
No segundo termo, simplificamos
e fatoramos
:
Passo 5
Para
aplicamos novamente a regra de potência:
Passo 6
Substituindo de volta e simplificando: