Considere f(x, y)=1-x y cos (pi x).
Determine o plano tangente de f no ponto (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente da função $ f(x, y) = 1 - xy \cos(\pi x) $ no ponto f(x, y) = 1 - xy cos(pi x) . O conteúdo aqui envolve cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais para determinar o plano tangente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma função $ z = f(x, y) $ no ponto z = f(x, y) é dado pela fórmula:
(x0, y0, z0)
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular $ z_0 $, que é o valor de $ f $ no ponto z0 :
f
Sabemos que $ \cos(\pi) = -1 $, então:
(1, 1)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, $ f_x $:
f
Derivando em relação a $ x $:
x
Agora, substituímos $ x = 1 $ e $ y = 1 $:
fx
f(x, y) = 1 - xy cos(pi x)
Sabendo que $ \cos(\pi) = -1 $ e $ \sin(\pi) = 0 $:
x

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, $ f_y $:
f
Derivando em relação a $ y $:
y
Substituindo $ x = 1 $:
fy
Como $ \cos(\pi) = -1 $:
f(x, y) = 1 - xy cos(pi x)

Passo 6

Agora temos todos os componentes que precisamos para montar o plano tangente:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores que calculamos:
z - 2 = 1 cdot (x - 1) + 1 cdot (y - 1)
Simplificando:
z - 2 = x - 1 + y - 1
z = x + y - 2 + 2
z = x + y

Resposta

O plano tangente de $ f $ no ponto f é dado por:
(1, 1)

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