Considere
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Determine o plano tangente de
no ponto
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Determine o plano tangente de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente da função $ f(x, y) = 1 - xy \cos(\pi x) $ no ponto
. O conteúdo aqui envolve cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais para determinar o plano tangente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma função $ z = f(x, y) $ no ponto
é dado pela fórmula:
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular $ z_0 $, que é o valor de $ f $ no ponto
:
Sabemos que $ \cos(\pi) = -1 $, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, $ f_x $:
Derivando em relação a $ x $:
Agora, substituímos $ x = 1 $ e $ y = 1 $:
Sabendo que $ \cos(\pi) = -1 $ e $ \sin(\pi) = 0 $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, $ f_y $:
Derivando em relação a $ y $:
Substituindo $ x = 1 $:
Como $ \cos(\pi) = -1 $:
Passo 6
Agora temos todos os componentes que precisamos para montar o plano tangente:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:
Resposta
O plano tangente de $ f $ no ponto
é dado por: