Considere f(x, y)=1-x y cos (pi x).
Determine a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção e no sentido de v =(4,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = 1 - xy \cos(\pi x) $ no ponto f(x, y) = 1 - xy cos(pi x) na direção do vetor (1, 1). Esse problema faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar entender vetores, unidades de vetores, derivadas parciais e como combinar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário na direção de v = (4, 3). Um vetor unitário tem comprimento 1 e aponta na mesma direção que o vetor original. Para isso, calculamos a norma (ou comprimento) de v:
|v| = raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Agora, o vetor unitário u na direção de v é:
u = ( 45, 35 )

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e a $ y $.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
f(x, y)
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
x

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (1, 1):
Para partial fpartial x:
partial fpartial x g|(1,1) = -1 cdot cos(pi cdot 1) + 1 cdot 1 cdot pi sin(pi cdot 1) = -cos(pi) + pi cdot 0 = -(-1) + 0 = 1
Para partial fpartial y:
partial fpartial y g|(1,1) = -1 cdot cos(pi cdot 1) = -(-1) = 1
Então, o gradiente de $ f $ no ponto f é:
(1, 1)

Passo 5

A derivada direcional é calculada fazendo o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Du f(1,1) = nabla f(1,1) cdot u = (1, 1) cdot ( 45, 35 ) = 1 cdot 45 + 1 cdot 35 = 75

Resposta

A derivada direcional de $ f $ no ponto f na direção de (1, 1) é v = (4, 3) ou 75.

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