Seja Zn^*=barx in Zn ; mdc(x, n)=1 o grupo multiplicativo dos inteiros módulo n (veja Exemplo 160 da aula 12).
Prove que Z4^*, Z5^*, Z9^*, Z18^* são grupos cíclicos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os grupos multiplicativos Z4^*,,Z5^*,,Z9^*,,Z18^* são cíclicos. O conteúdo é teoria de grupos finitos, em particular definição de grupo cíclico e ordem de um elemento. Vamos usar que um grupo finito é cíclico se existe g cuja ordem seja igual ao tamanho do grupo.

Passo 2

Lembrando que a ordem de Zn^* é varphi(n), e que um elemento a gera o grupo se a^varphi(n)equiv1pmod n e nenhuma potência menor produz 1. Assim, basta encontrar a com ordem varphi(n).

Passo 3

Para Z4^* temos varphi(4)=2 e Z4^*=bar1,bar3. Testando bar3: 3^1equiv3notequiv1pmod4 e 3^2equiv9equiv1pmod4. Logo a ordem de bar3 é 2, igual ao tamanho do grupo. Portanto Z4^* é cíclico, gerado por bar3.

Passo 4

Para Z5^* temos varphi(5)=4 e Z5^*=bar1,bar2,bar3,bar4. Testando bar2: 2^2equiv4notequiv1pmod5, 2^3equiv8equiv3notequiv1pmod5 e 2^4equiv16equiv1pmod5. A ordem de bar2 é 4, igual a varphi(5), então Z5^* é cíclico, gerado por bar2.

Passo 5

Para Z9^* temos varphi(9)=6 e Z9^*=bar1,bar2,bar4,bar5,bar7,bar8. Testando bar2: calculamos as potências até ver 2^6equiv1pmod9 sem que potências menores sejam 1, de fato
2^2equiv4,2^3equiv8,2^4equiv7,2^5equiv5,2^6equiv1pmod9 Como a ordem de bar2 é 6, que é varphi(9), conclui-se que Z9^* é cíclico, gerado por bar2.

Passo 6

Para Z18^* temos varphi(18)=6 e Z18^*=bar1,bar5,bar7,bar11,bar13,bar17. Testando bar5: suas potências são
5^2equiv7,5^3equiv17,5^4equiv13,5^5equiv11,5^6equiv1pmod18, e nenhuma potência menor dá 1. Assim a ordem de bar5 é 6, logo Z18^* é cíclico, gerado por bar5.

Resposta

Z4^*,Z5^*,Z9^* e Z18^* são grupos cíclicos, com geradores respectivamente bar3,bar2,bar2,bar5.

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