Seja
o grupo multiplicativo dos inteiros módulo
(veja Exemplo 160 da aula 12).
Prove que
são grupos cíclicos.
Prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os grupos multiplicativos
são cíclicos. O conteúdo é teoria de grupos finitos, em particular definição de grupo cíclico e ordem de um elemento. Vamos usar que um grupo finito é cíclico se existe
cuja ordem seja igual ao tamanho do grupo.
Passo 2
Lembrando que a ordem de
é
, e que um elemento
gera o grupo se
e nenhuma potência menor produz 1. Assim, basta encontrar
com ordem
.
Passo 3
Para
temos
e
. Testando
:
e
. Logo a ordem de
é 2, igual ao tamanho do grupo. Portanto
é cíclico, gerado por
.
Passo 4
Para
temos
e
. Testando
:
,
e
. A ordem de
é 4, igual a
, então
é cíclico, gerado por
.
Passo 5
Para
temos
e
. Testando
: calculamos as potências até ver
sem que potências menores sejam 1, de fato
Passo 6
Para
temos
e
. Testando
: suas potências são