Determine se a função
é contínua.
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a função
é contínua. A matéria envolvida aqui é Continuidade de Funções de Duas Variáveis, e para resolver isso, vamos precisar analisar o limite da função quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a continuidade em um ponto
exige que:
No nosso caso, queremos que:
Então, precisamos calcular esse limite.
Passo 3
Para facilitar, vamos trocar para coordenadas polares, onde
e
, e
. Quando
,
.
Substituindo na função:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte:
Então:
Quando
,
, e
para
pequeno. Então:
Passo 5
Agora, analisamos o segundo fator:
Sabemos que
, então:
A função
oscila entre -1 e 1 à medida que
, o que faz com que
não seja bem definida para
pequenos, pois
pode ser zero ou negativo.
Passo 6
Dessa forma, a expressão
não existe para valores de
que fazem
, ou seja, quando
, onde
é inteiro. Portanto, a função
não está definida em certos caminhos que se aproximam de
.
Passo 7
Como a função não está definida em certos caminhos que levam a
, isso significa que o limite não existe de forma geral quando
. Portanto, não é possível igualar esse limite ao valor da função no ponto, que é zero.
Resposta
A função
não é contínua em
.