Determine se a função
f(x, y)=ll tan (x y^2) sin (ln (sec (1raizx^2+y^2))), & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
é contínua.

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a função
f(x, y) = tan(x y^2) cdot sin(ln(sec(1raizx^2 + y^2))), & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0)
é contínua. A matéria envolvida aqui é Continuidade de Funções de Duas Variáveis, e para resolver isso, vamos precisar analisar o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a continuidade em um ponto (a, b) exige que:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b)
No nosso caso, queremos que:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = 0
Então, precisamos calcular esse limite.

Passo 3

Para facilitar, vamos trocar para coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta, e r = raizx^2 + y^2. Quando r to 0, (x, y) to (0,0).
Substituindo na função:
f(r, theta) = tan(r costheta cdot (r sintheta)^2) cdot sin(ln(sec(1r)))

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
xy^2 = r costheta cdot (r sintheta)^2 = r^3 costheta sin^2theta
Então:
tan(xy^2) = tan(r^3 costheta sin^2theta)
Quando r to 0, r^3 costheta sin^2theta to 0, e tan(z) approx z para z pequeno. Então:
tan(r^3 costheta sin^2theta) approx r^3 costheta sin^2theta

Passo 5

Agora, analisamos o segundo fator:
sin(ln(sec(1r)))
Sabemos que sec(z) = 1cos(z), então:
ln(sec(1r)) = ln(1cos(1r)) = -ln(cos(1r))
A função cos(1r) oscila entre -1 e 1 à medida que r to 0, o que faz com que ln(cos(1r)) não seja bem definida para r pequenos, pois cos(1r) pode ser zero ou negativo.

Passo 6

Dessa forma, a expressão ln(sec(1r)) não existe para valores de r que fazem cos(1r) = 0, ou seja, quando 1r = pi2 + kpi, onde k é inteiro. Portanto, a função f(x, y) não está definida em certos caminhos que se aproximam de (0,0).

Passo 7

Como a função não está definida em certos caminhos que levam a (0,0), isso significa que o limite não existe de forma geral quando (x, y) to (0,0). Portanto, não é possível igualar esse limite ao valor da função no ponto, que é zero.

Resposta

A função f(x, y) não é contínua em (0,0).

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