Considere:
Determine o grau de homogeneidade.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o grau de homogeneidade dessa função (ou seja, encontrar o número
tal que a função seja homogênea de grau
, se for o caso).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Precisa-se do valor do grau de homogeneidade
.
Passo 2
Definição clara e simples do que é homogeneidade: uma função
é dita homogênea de grau
se, para todo escalar
(geralmente real),
Aqui
é um número que escala as variáveis
e
;
é o grau buscado. A ideia prática: ao multiplicar os argumentos por
, a função é multiplicada por
.
Passo 3
Aplicar a definição à função dada: calcule
substituindo
por
e
por
.
Passo 4
Desenvolver a expressão usando propriedades de potências:
e então multiplicando por
obtém-se
Passo 5
Comparar com
. Como
, temos
Portanto a igualdade da definição é satisfeita com
.
Passo 6
Regra prática e verificação adicional: para monômios do tipo
o grau de homogeneidade é
. Aqui
e
, logo
, consistente com o resultado anterior. Uma verificação alternativa usando o teorema de Euler (se a função for diferenciável) dá a mesma resposta: calcular
e
,
e verificar
confirmando
.