Considere:
f(x, y)=x^{2} y
Determine o grau de homogeneidade.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}y e pede: determinar o grau de homogeneidade dessa função (ou seja, encontrar o número k tal que a função seja homogênea de grau k, se for o caso).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}y.
  • Precisa-se do valor do grau de homogeneidade k.

Passo 2

Definição clara e simples do que é homogeneidade: uma função f(x,y) é dita homogênea de grau k se, para todo escalar t (geralmente real),
f(tx,ty)=t^{k}f(x,y).
Aqui t é um número que escala as variáveis x e y; k é o grau buscado. A ideia prática: ao multiplicar os argumentos por t, a função é multiplicada por t^{k}.

Passo 3

Aplicar a definição à função dada: calcule f(tx,ty) substituindo x por tx e y por ty.
f(tx,ty)=(tx)^{2}\,(ty).

Passo 4

Desenvolver a expressão usando propriedades de potências: (tx)^{2}=t^{2}x^{2} e então multiplicando por (ty) obtém-se
f(tx,ty)=t^{2}x^{2}\cdot t y = t^{3}x^{2}y.

Passo 5

Comparar com t^{k}f(x,y). Como f(x,y)=x^{2}y, temos
f(tx,ty)=t^{3}x^{2}y = t^{3}f(x,y).
Portanto a igualdade da definição é satisfeita com k=3.

Passo 6

Regra prática e verificação adicional: para monômios do tipo x^{a}y^{b} o grau de homogeneidade é a+b. Aqui a=2 e b=1, logo a+b=3, consistente com o resultado anterior. Uma verificação alternativa usando o teorema de Euler (se a função for diferenciável) dá a mesma resposta: calcular f_x e f_y,
f_x=2xy,\qquad f_y=x^{2},
e verificar
x f_x + y f_y = x(2xy)+y(x^{2})=3x^{2}y=3f(x,y),
confirmando k=3.

Resposta

3

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