\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser investigada é \dfrac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
  • Observação importante: em (0,0) a expressão não está definida porque o denominador \sqrt{x^{2}+y^{2}} é zero. Ainda assim, podemos estudar o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) por pontos com (x,y)\neq(0,0).

Passo 2

Ideia para resolver: usar a quantidade
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
que representa a distância do ponto (x,y) até a origem. Explicação didática: sempre que aparece \sqrt{x^{2}+y^{2}} é natural pensar em r porque isso simplifica a escrita e traduz a aproximação (x,y)\to(0,0) na aproximação r\to0^{+}. Aqui r\ge 0 e para (x,y)\neq(0,0) temos r>0.

Passo 3

Reescrever a expressão em função de r. Para (x,y)\neq(0,0) vale
x^{2}+y^{2}=r^{2} \qquad\text{e}\qquad \sqrt{x^{2}+y^{2}=}r.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0) a fração simplifica para
\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r^{2}}{r}=r.
(Aqui foi usada a álgebra básica: se r>0 então \dfrac{r^{2}}{r}=r.)

Passo 4

Passar ao limite usando a expressão em r. Aproximar (x,y) por (0,0) é o mesmo que fazer r\to0^{+}. Assim
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\lim_{r\to0^{+}} r.
E é imediato que
\lim_{r\to0^{+}} r = 0.
Explicação didática: a função identidade r\mapsto r é contínua em 0 e toma valor 0 quando r=0; portanto a imagem dos pontos que se aproximam da origem tende a 0.

Passo 5

Verificação por caminhos (para ganhar confiança): se tomar qualquer caminho simples, por exemplo y=mx com m fixo, então
\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\sqrt{x^{2}+m^{2}x^{2}}=\lvert x\rvert\sqrt{1+m^{2}},
que tende a 0 quando x\to0. Como esse resultado é 0 para todo m, e a expressão foi reduzida a r de forma independente da direção, isso confirma que o limite é o mesmo por qualquer caminho.

Passo 6

Conclusão e incentivo: portanto a expressão reduz-se à distância r ao origin e essa distância vai a 0 quando (x,y)\to(0,0). Bom trabalho — essa é uma técnica que aparece muito em limites multivariáveis: identificar a norma (a distância) e simplificar.

Resposta

\,0

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