Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a ser investigada é
. - O ponto de interesse é
. - Observação importante: em
a expressão não está definida porque o denominador é zero. Ainda assim, podemos estudar o limite quando se aproxima de por pontos com .
Passo 2
Ideia para resolver: usar a quantidade
que representa a distância do ponto
até a origem. Explicação didática: sempre que aparece
é natural pensar em
porque isso simplifica a escrita e traduz a aproximação
na aproximação
. Aqui
e para
temos
.
Passo 3
Reescrever a expressão em função de
. Para
vale
Portanto, para
a fração simplifica para
(Aqui foi usada a álgebra básica: se
então
.)
Passo 4
Passar ao limite usando a expressão em
. Aproximar
por
é o mesmo que fazer
. Assim
E é imediato que
Explicação didática: a função identidade
é contínua em
e toma valor
quando
; portanto a imagem dos pontos que se aproximam da origem tende a
.
Passo 5
Verificação por caminhos (para ganhar confiança): se tomar qualquer caminho simples, por exemplo
com
fixo, então
que tende a
quando
. Como esse resultado é
para todo
, e a expressão foi reduzida a
de forma independente da direção, isso confirma que o limite é o mesmo por qualquer caminho.
Passo 6
Conclusão e incentivo: portanto a expressão reduz-se à distância
ao origin e essa distância vai a
quando
. Bom trabalho — essa é uma técnica que aparece muito em limites multivariáveis: identificar a norma (a distância) e simplificar.